Всем привет!

Вот наконец-то наступило жаркое лето, народ в городах, посёлках, деревнях и прочих населённых пунктах потянулся на природу, в леса густые и к водоёмам с прозрачной водой. В лесу хорошо… Грибам-ягодам пока ещё рановато, зато просто погулять можно. В реках-прудах повеселее, там рыба плещется и лягушки прыгают.

Кадр из мультфильма «Дюймовочка», 1964 г.в.

И вдруг одной лягушке захотелось перебраться на другой берег! Плыть почему-то ей не захотелось — решила прыгать по кувшинкам. При этом кувшинки выстроены в линию от берега до берега, а лягушка случайным образом прыгает на любую из них в сторону того берега (а может и сразу на тот берег запрыгнуть). Например, если перед ней 5 кувшинок с номерами 1-2-3-4-5, то она может прыгать, например, по кувшинкам 1-3-берег, или 2-4-5-берег, или 1-2-3-4-берег, или же тоже случайно пропрыгать все их 1-2-3-4-5-берег. Длина каждого прыжка (в количестве кувшинок) совершенно случайна и никак не зависит от истории уже прыгнутого.

Алгоритм понятен? Теперь задача. Цитирую как получил:

Лягушка сидит на берегу реки. Хочет попасть на противоположный берег. В реке плавает N кувшинок, все кувшинки выстроены в линию между лягушкой и противоположным берегом. Лягушка прыгает на случайную кувшинку перед ней или на противоположный берег с одинаковой вероятностью. Если приземлилась на берег, то она прекращает прыгать. В противном случае делает ещё один прыжок на случайную кувшинку из оставшихся перед ней. Вопрос: сколько прыжков в среднем она совершит?

Поскольку не все разбрелись по лесам и рекам, по шашлыкам и пляжам – то вот вам субботняя задачка для разминки головного мозга :)

Теперь о предыдущей задачке. Напоминаю, она была про компанию из 30 человек, из которых кто-то всегда говорит правду, а кто-то иногда врёт. Все они сидят по кругу за одним столом. Требовалось выяснить минимальное количество правдорубов для того, чтобы одним вопросом найти хоть одного из них.

Интересная задачка, необычная. Развёрнутый и универсальный ответ для всех случаев дал . Поздравляю!

Всем приятных трудовых будней!

А чтобы они, будни, получились совсем весёлыми, у меня есть для вас хорошая задачка :) Не пугайтесь! – в этот раз она не вполне арифметическая. Она логическая и социальная. Про то, как, наплевав на карантины и пандемии, большая толпа из тридцати друзей и просто знакомых собралась на шашлыки с пивом. Они расселись за большой стол и… вдруг оказалось, что среди них есть обманщики! А очень хочется найти кого-то абсолютно честного, чтобы не пропасть здесь навсегда. Для этого им можно задавать вопросы. Однако, количество вопросов ограничено, и вопрос можно задать только один.

Короче, вот вам задачка на подумать про деформацию социального поведения в условиях ограничений свободы выбора проведения летнего отпуска :)

Условие:

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо лжец, либо правдоруб. Всех сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – правдоруб или лжец? (они знают друг друга и кто есть кто). В ответ правдоруб всегда говорит только правду, а лжец может сказать как правду, так и солгать. Известно, что количество лжецов не превосходит X.

Вопрос:

При каком наибольшем значении X всегда можно, зная ответы от всей компании, указать на правдоруба в этой компании? На любого правдоруба, произвольного?

А теперь ответы на прошлую порцию задачек и позывные владельцев талантливых мозгов, решивших её.

Дальше: бесконечный цикл…

Всем привет!

Несмотря на лето-речку-шашлыки тема математических задачек продолжает пользоваться популярностью у читающей публики. Отлично, у меня есть ещё немного вещества для мозгового веселья! Тем более, что на выходных в карантинных условиях других новостей у меня немного :) Принимайте субботние мат-задачки =>

Задачка-1. Доказать, что сумма двух последовательных простых чисел больше тройки раскладывается как минимум на три множителя.

Задачка-2. 1! + 2! + 3! + … + x! = y^2, надо найти все x и y.

В прошлый раз неплохо «зашла» тема поиска чисел из нулей и единиц. Ну, тогда хорошая новость. Есть ещё на эту же тему. Но сначала попроще:

Задачка-3. Для всех чисел от 01 до 99 доказать (или опровергнуть), что существует другое число, произведение с которым состоит только из единиц и нулей – и показать способ его поиска. Все числа натуральные, система счисления 10-тичная (уточняю: 10=десятичная).

И посложнее:

Задачка-4. Доказать, что если число, состоящее только из единиц (111….111) делится на 2017, то оно делится и на 9. И найти минимальное такое число.

Ответы под этим постом скрываются до завтра, 21:00 по Москве.

А теперь правильные ответы на предыдущую задачку и позывные самых ярких мозгов планеты ЖЖ :)

Дальше: 105263157894736842105263157894736842…

Всем привет!

Вот и долгожданная запоздалая весна наконец-то пришла в наши края!.. и как-то сразу превратилась в жаркое лето с ярким солнышком, птички свои песни поют, да в перерывах грозы молниями всех пугают. А поскольку все эти поганые биологические вирусы не любят тепла и прямого солнечного света, то и карантинам с изоляциями полный конец, да снова пробки в Москве аж 8 баллов. Жизнь налаживается! И Европу тоже потихоньку «отпускает», только где-то далеко за океаном Южные и Северные Америки всё ещё колбасит, да и другие регионы немного тоже потряхивает – но и у них всё тоже будет хорошо.

К чему это я по такой необычной здесь теме прошёлся? Да просто всё возвращается в своё обычное русло, а потом мы будем вспоминать: «а помнишь, весной 2020-го мы в это время…» :) Так вот, все по делам, на улицу, по работам, шашлыкам-и-дачам, посему нет у меня особых причин продолжать обильные развлечения всех карантинящих разными заумными задачками. Ведь уже два с половиной месяца стараюсь! (первая задачка 28-аж-марта была про доминошки :)

Да и задачки математические, геометрические, логические и прочие постепенно подходят к концу. Но там есть ещё чем головной мозг с извилинами потешить. Вот, например, на праздничных и выходных днях предлагается вот такими несложными вопросами задаться =>

Задачка 1 (лёгкая). Если n²+1 является десятизначным числом, то у него будет как минимум две одинаковых цифры. Почему?

Задачка 2 (посложнее). Берём число 17. Можно ли найти другое число, которое делится на 17 и состоит только из нулей и единиц? Десятичная система, числа натуральные.

И самая сложная ->

Задачка 3. Сегодня ночью мне приснилось загадочное натуральное число, которое заканчивается на двойку. Что замечательного в этом числе: если его умножить на два, то результат состоит из той же последовательности цифр, но двойка переместилась в самое начало. То есть,

2*»пц2″ = «2пц»

(где пц = «последовательность цифр», а не то, что вы могли подумать :)

Что это за число? Хотя бы одно, минимальное? (их, наверное, очень много).

Всем успехов в решениях! Как обычно за наиболее правильные и подробные ответы будут призы. Всем хороших и тёплых дней! И не болеть.

Ура! Блиц-мат-марафон завершён! Всем большое спасибо за участие, зрителям за поддержку наших спортсменов, сидящим рядом с вами на карантине и самоизоляции семьям, детям, кошкам-мышкам и прочим животным – тоже спасибо за соучастие в процессе! …даже если ни соучастия, ни процесса не было :) Всё равно вроде бы неплохо получилось. Весело и задорно! И головным извилинам полезно иногда потренироваться немного.

Чтобы побыстрее подсчитать ваши спортивные результаты и объявить чемпионов – большая просьба всем участникам самостоятельно сложить свои баллы и результат положить сюда в комментарии. Все ваши решения в предыдущих постах-задачках уже должны быть открыты.

И вот ещё что. Если кому-то понравилось и нет сил остановиться, то вот ещё задачка. Вне конкурса. Этакий «десерт на сладкое».

===>

Задачка 7. Найти все целые решения: y² = x³ – 1

<===

Всё на этом! Считайте свои баллы, завтра объявлю победителей. И покажу правильные решения :)

И, наконец, шестая часть сегодняшнего мат-забега. Надеюсь, настроение у всех пока ещё боевое? Тогда вот вам, кидаю самую завершающую порцию:

===> 

Задачка 6. Решить в натуральных числах уравнение (1 + nᵃ)ᵇ = 1 + nᶜ, b>1

——

Задачка 6-лёгкая. N-46 и N+37 — полные квадраты, найти N.

<===

На этом совсем всё на сегодня! Результаты будут подведены чуть позже.

Всех доживших до этого уровня – поздравляю с потрясающими успехами! Честно говоря, я не ожидал, что даже до 4й пары задачек дело дойдёт за один день. Все – большие молодцы, снимаю шляпу, цитирую классика: «Пивная! Ещё парочку!» =>

===>

Задачка 5. Решить в натуральных числах (x,y,a,n,m) вот такую красивую систему:

x + y = aⁿ
x² + y² = aᵐ

——

Задачка 5-лёгкая.

Однажды администрация ЖЖ забанила двух блогеров. Им сказали, что вообще удалят их аккаунты нафиг, если не произойдёт вот что => Каждый день оба блогера должны бросать монету (каждый свою). Затем каждый из них должен угадать орёл или решка у другого блогера. Если хотя бы один угадывает — аккаунты сохраняются ещё на один день. Если оба не угадали — всё, конец истории. При этом блогеры забанены и не могут общаться друг с другом. Но после объявления условия они таки успели послать друг другу мессаги и о чём-то договорились.

Ну, вопрос такой: как долго они протянут? Администация ЖЖ злая, но не злопамятная :) Когда-то она простит блогеров и вернёт их из бана. Если ли у них шанс дотянуть до этого светлого дня?

<===

Жизнь должна быть прекрасной и удивительной! Прекрасна она по определению, поскольку за окном яркий летний денёчек, а удивительной её делает четвёртая порция задачек нашего субботнего мат-блиц-марафона. Вот таких:

===>

Задачка 4. Найти все целые решения уравнения y² = x³ + 1

——

Задачка 4-лёгкая. Доказать, что если:
x + 2ˣ = y + 2ʸ
то =>
x + sin(x) = y + sin(y)

<===

Добавлю, что вновь присоединившиеся могут порешать также и предыдущие сегодняшние задачки. Там ещё есть возможность поучаствовать в призах, поскольку некоторые решения в скрытых комментариях частично или полностью неправильные.

Всем привет!

Вот какая возникла идея: а не провести ли нам субботний блиц-турнир по решению арифметических задачек? Вроде тех, что я уже здесь накидывал для всеобщего удовольствия. Но теперь мы это сделаем интереснее и азартнее. За решение задачек будут начисляться очки, а по результату турнира победителям будут отправлены очень ценные и полезные в хозяйстве, на компьютере и умнофонах призы.

Нравится идея? Мне – да :)

Итак, правила игры следующие.

У меня будет заготовлено несколько задачек… например, пять штук. Задачки будут средней сложности, не слишком головоломные. Публиковать я их начну по одной штуке в субботу в 9 утра по московскому времени ВНИМАНИЕ! Важный UPD: по просьбам трудящихся решено было перенести на попозже. Решили начать блиц-тур в 11 по Москве. Как только в комментариях (само собой, скрытых для чужих глаз) появится несколько правильных решений – сразу буду публиковать следущую задачку.

Ах да! Чтобы всем остальным домашним тоже было весело и нескучно – там же рядом будет простенькая задачка. Если же у вас дома есть школьники младших классов или совсем ещё дошкольники, которым эти мозговые тренировки пока не по силам, то придумайте им увлекательные задачки самостоятельно – чтобы вообще всем было интересно.

Баллы за правильные решения будут засчитываться следующим образом: за сложные задачки первый, решивший получает 5 баллов, второй – 3 балла, третий – 2 балла, все остальные по 1 баллу. Первые трое, решившие простенькие задачки – получают каждый по одному баллу.

Кто первый и кто далее? По времени публикации ответа на задачку. То есть, сначала можно дать просто правильный ответ без доказательства решения. Само собой, если комментарий редактируется, то за время публикации считается время редактирования коммента. И – внимание! – затем обязательно нужно привести само решение. Каким именно образом получены окончательные числа (или какой другой результат)? Без доказательства ответы засчитываться не будут!

То есть, если задачка звучит: «2×2=?»,  то первый коммент, по которому засчитывается время, может быть просто «4». Но следом обязательно должно быть обоснование, например: «2×2 = 2+2 = 4, да и в таблице умножения так написано».

Если вы ошиблись и передумали – можно отправить правильное решение после неправильного. Время ответа будет засчитано по правильному решению. А вот ваше неправильное решение после правильного обнулит оба :)

Ну что, потрём извилины в тёплый июньский субботний денёк? :)

Вот ещё что – призы!

Само собой, они должны быть запоминающимися. За первое место — моднявые кигуруми Мидори Кума. Две штуки. И ещё набор моих книжек о путешествиях с личным автографом :) За второе место — один кигуруми и набор книжек. Третье место — набор книжек! А ещё у нас в запасе много защиты от спамеров для умнофонов Who Calls, так что никто из правильно ответивших не уйдёт с пустыми руками.

Ну что, согласны? Попробуем? Ну, тогда до встречи в субботу в 9:00 11:00 MSK! Не пропустите время начала блиц-мат-марафона и публикацию следующих задачек вслед за уже решёнными.

Но это ещё не всё! Ведь есть и очередная сегодняшняя задачка, а также ответы на предыдущие!

Сегодня задачка вот такая:

===>

[??] — округление к меньшему. Найти ‘x’:

[x] + [2x] + [3x] + … + [2020x] = 2020

А теперь попробуйте найти ‘x’ в новых условиях:

[x] + [2x] + [3x] + … + [2021x] = 2021

<===

А теперь – ответы на предыдущие задачки. Напоминаю условия:

Дальше: герои — в студию!…

Ловите третью часть сегодняшнего мат-развлечения! Надеюсь, что вам пока всё нравится.

===>

Задачка 3. Решить в натуральных числах (xʸ) * (yˣ) = (x + y)ᶻ

——

Задачка 3-лёгкая. Есть числа 1,2,3,…,19. Сколькими различными способами можно их переставить так, чтобы в результате записи их подряд без пробелов получился палиндром-перевёртыш?

Например, из {1,2,3,13} можно сложить палиндром 13231. Сколько таких перевёртышей можно сделать из 1,…,19?

<===

Время на забеге фиксируется примерно вот такое: ??? ??? ???