Архив тегов: math

Остепенеть!

Всем привет!

Внезапно вспомнилось математическое-прекрасное на баш-орге:

Люди бывают 10 видов: те, кто знают двоичную систему; те, кто не знают и те, кто не ожидал шутку про троичную систему.

И сразу же захотелось снова пощекотать ваши мозги новыми задачками :)

Для начала простенькое упражнение:

Задача 1. На какую цифру заканчивается число 777777?

Теперь усложнение, вдруг кому-то захочется немного посамоупражняться?

Задача 2. А две последние цифры получится вычислить?

Если бы я был администрацией ЖЖ, то тут же добавил бы чего-нибудь вот такого :)

Задача 3. А три последние цифры, ха-ха-ха, а то всех забаним!

И на десерт — правильные решения предыдущих задачек, а также награждение героев-победителей.

Дальше: впихуительно!…

Задачка про очень большую шоколадку с ожидаемым сюрпризом.

Контраст текущих событий делает не только здоровье крепче (если правильно им пользоваться), но и жизнь увлекательнее! Посему я стараюсь всячески разнообразить публикуемые здесь листовки с наглядной агитацией.

Мы посмотрели далёкие красивые заморские страны, почитали правильные книжки, [я бы ещё кинцо какое-нибудь свежее порекомендовал, но, увы, не снимают больше хороших фильмов], окунулись в историю, держимся в курсе новостей про мировое кибер-зловредство и противостоящих ему технологий… И так далее.

Сейчас готовится список Топ-100 самой большой земной красоты для услады глаз и любопытствов :), а кроме этого ещё и задачки умные и попроще для тренировки ума тоже есть. Вот только про еду с аппетитом что-то давно я не отчитывался… Исправляюсь! Есть у нас и про еду =>

Задачка про шоколадку. Вот такая:

Редакция ЖЖ решила в этом году поздравить не только самых лучших блогеров, но и наоборот. А именно: по результатам года будут выбраны два блогера, которые вели себя совсем плохо. Им будет вручена огромная плитка шоколада размером 2020 на 2021 кусочек. При этом один из кусочков с неприятным вкусовым «сюрпризом» (например, перец чили… а может и пурген, крысиный яд… или какая ещё фантазия придёт в голову). Кусочек отличается по цвету от остальных одинаковых кусочков. Правила следующие: блогеры поочерёдно отламывают шоколадку по линии слома и съедают отломанную часть.

Вопрос: кому из них при правильной игре достанется последний, самый «вкусный» ядовитый кусочек? :)

Ещё раз: большая плитка шоколада, «нехороший» кусочек другого цвета (его видно), ломать только по одной линии поочерёдно. Как они должны играть так, чтобы последний гадкий кусочек достался противнику?

До Нового года времени пока полно, можно подумать и разработать стратегию правильной игры. Успеете?

Вы спросите — а где правильное решение предыдущей задачки про «невпихуемое»? Ответ пока не показываю, поскольку всё ещё не прекращаются попытки протащить за угол конструкцию площадью больше двух единиц. Не буду портить этот процесс :) Ведь вы тоже можете прямо сейчас к нему присоединиться!

Фотоканал на Flickr

Instagram

Впихнуть невпихуемое.

Ага, новый день приносит нам новые загадочные задачки. Что у нас там на сегодня в стеке? Ооооо! Это совершенно волшебный случай, после которого можно брать паузу на публикацию новых задачек на неделю, а то и на две. Это гига-мега-супер интересная (и практически полезная) задачка из геометрии двумерных пространств. Ловите ->

Есть Г-образный коридор – рукава коридора сходятся под углом 90 градусов. Ширина коридора = 1. Какой максимальной площади диван сейф можно переместить из одного рукава в другой? Сейф имеет произвольную форму, поворачивать на бок нельзя.

Для примера — квадратный сейф площадью 1 (1х1) перемещается в 2 движения — до упора по горизонтали, до упора по вертикали.

Сейф не обязательно квадратный, он любой формы. Попробуем, например, полукруг. Тащим его до упора, поворачиваем на 90 градусов, тащим дальше. Получается π/2 = 1,57. Ого! В полтора+ раза больше квадрата…

Кто сколько сумеет протащить максимально? У меня (при помощи добровольных волонтёров) получилось больше 2. Как? Дерзайте!

Ещё раз: интересует только плоская площадь. Какой он по вертикали — неважно, поворачивать на бок и катить сейф нельзя.

А вот решение предыдущей геометрической задачки.

Дальше: волшебная призма-карандаш…

Равенство и братство объёмов, длин и плоскостей выпуклых многогранников.

А хорошо пошла геометрия! Тогда вот ещё одна очень-очень неплохая задачка из этой области. ~Год назад мы уже делали подход к этому снаряду, но тогда читателям было куда пойти и что сделать за пределами дома :) и попытка не удалась. Что ж, давайте повторим! Не сомневаюсь, что задачка поможет вам интересно провести самоизаляционные вечера, если они у вас по какой-то причине всё ещё скучные.

Итак, звучит задачка вроде бы несложно:

—> Существует ли выпуклый многогранник, у которого совпадают числовые значения объёма, площади поверхности (всех граней) и суммы длин всех рёбер? <—

Для затравки можно потренироваться на простых фигурах. Например, может ли существовать такая правильная пирамида? А куб? А курносовыпуклый икосододекаэдр? Шучу. Давайте всё же начнём с куба. А потом его немного сплющим и растянем до плитки-параллелепипеда.

источник

А пока вы разнообразите самоизоляционные вечера :) я расскажу решение предыдущей геометрической задачки.

Напоминаю условия.

Дальше: бабах по окружности…

Геометрическая загогулина.

Всем привет,

сегодня будем не просто разминать мозг. Будем его разминать немного другим способом, а точнее — геометрией. А геометрических задачек у меня есть, да неплохих!

Начну с простеньких.

Задача 1. Однажды самый умный блогер получил награду от администрации ЖЖ и решил повесить её на стену. Для этого он (или она) решил(а) вбить гвоздь точно в угол своей комнаты. Для этого он(а) поставил(а) лестницу впритык к стене (в углу), долез(ла) ровно до середины, сжимая в кулаке гвоздь. Посередине лестницы он(а) вспомнил(а), что забыл(а) молоток. От резкой остановки лестница с блогером подпрыгнули (он(а) резво лез(ла)), лестница стукнулась об пол и начала скользить по нему. Пытаясь затормозить падение блогер воткул гвоздь в соседнюю стену. Вопрос: какую фигуру процарапает гвоздь по обоям прежде чем произойдёт неизбежный бабах?

Задача 2. Нужно вычислить закрашенную площадь:

И Задача 3. Есть три окружности неравных радиусов (как на картинке). Ко всем ним проведены касательные линии. Доказать, что пересечения этих линий лежат на одной прямой.

Например, вот так. Докажите, что любая другая такая картинка будет с прямой зелёной линией.

Дальше: решение и его герои…

Ромео, Джульетта и Микки-Маус против клизмы.

Сегодняшняя задачка на злободневное:

Однажды блогеров Ивана, Марью, Ромео, Джульетту и Микки-Мауса посадили в карантин. Раз в день санитары выбирают случайного из них и ведут на процедуры. В процедурной есть выключатель и лампочка, которую можно включить или выключить. Как только кто-либо из блогеров понимает, что все остальные хотя бы по разу побывали на процедурах – то сразу идёт к главврачу и говорит об этом. Если угадал – всех выпускают на свободу, нет – всем делают клизму и карантин начинается с нуля.

Карантин жёсткий: все в одиночных палатах, мобилы отобрали, интернетов тоже нет, QR-коды на автотранспорт заказать нельзя. Обмениваться информацией тоже никак. Но пока их везли в больницу они успели договориться о стратегии, смогли выяснить когда всех «отпроцедурили», им вернули мобилы, они вышли на свободу и отбложились по этому поводу. Как они это сделали?

Справитесь? А сколько им в среднем времени на это потребуется? А если их в карантине 10? А если 100? Просто любопытно. Можно даже программу на эту тему написать :) Когда они с 50% вероятностью закончат карантин – ага?

На всякий случай поясняю условия:
— процедуры проводятся только для одного из них и только раз в день;
— санитары выбирают кого-то совершенно случайно;
— нацарапать на стене «здесь был ваня» нельзя — шутники-санираты допишут «маша и все остальные» => сразу клизма и карантин по новой.

Дерзайте!

А я дерзну рассказать решение предыдущего математически-археологического наследия им.Евклида.

Дальше: в поисках неизвестного…

Блогеры против Евклида или Немного математической археологии.

Всем привет!

Сегодняшняя пачка задачек небольшая, но весьма древняя – им более 2 тысяч лет. Известно даже имя математика, который их тогда и решил – это Евклид. И задачки эти посвящены так называемым «совершенным числам», то есть таким, которые равны сумме всех своих делителей. Например, 6 = 1+2+3. Или 28 = 1+2+4+7+14. Вот такая сегодня математическая археология ->

Задачка 1. Евклид доказал, что если 2n — 1 — простое число, то 2(n — 1) * (2n — 1) — совершенное (n — натуральное число, само собой). Получится ли нам самостоятельно доказать этот факт? Умнее ли мы Евклида или же всё ещё нет?

Задачка 2. Доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид 2(n — 1) * (2n — 1), где 2n — 1 — простое.

Задачка 3. Доказать, что нечётных совершенных чисел не существует.

Шучу! Не буду вас мучить совершенными нечётными числами. Вот что про них пишет Википедия: Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует.

Удачи в математически-археологических упражнениях!

А теперь увлекательное решение предыдущего мат-мат-математического.

Дальше: {a,b,a+b} = {+-1,+-2,+-5}…

Мат-мат-математическое.

И сказал мне стьюдент Билли:
"Я в науках не секу —
Поскорей бы все забыли
Твою математику,
Твою мать.., твою мать.., твою мать..,
Твою математику".

© Контора Братьев Дивановых, "Западло"

Всем привет. Дни смешались в этих карантинах-самоизоляциях… Какое сегодня число? Ага, понедельник, 20 апреля 2020-го всё ещё года. Понедельник день тяжёлый? Ну, тогда давайте его облегчим. Вот такое сегодня будет про 20-04-2020 ->

Задачка1. Есть вот такая красота: A * B * ( A + B ) = 20042020, где А и B — целые числа. Требуется: найти решение или доказать нерешабельность.

Задачка2. Решить в целых числах: (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 30.

Задачка3. Простая задачка, решается за 1 минуту: доказать, что 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133.

А теперь решения предыдущей порции задачек:

Дальше: 2019^2019…

Back to Новый год!

Всем привет!

Раскапывал сегодня разные архивы и нашёл разные занимательные «новогодние-2019» задачки. Ну что — развлечёмся?

Задачка 1. Может ли число, сумма цифр которого равна 2019, быть квадратом целого числа.

Задачка 2. Найти все целые решения уравнения: х2 + 2019 = y2

Задачка 3. Найти остаток от деления 22019 / 2019. Без калькулятора.

А теперь — решение предыдущей задачки про 50 самых умных ЖЖ-блогеров.

Дальше: первый врать не может!…

Однажды 50 самых умных ЖЖ-блогеров…

Однажды ранним хмурым весенним… не то вечером, не то утром, обалдевшая от само-карантина и селфи-изоляции админстрация ЖЖ решила развлечься :) Для этого они вызвали 50 самых умных ЖЖ-блогеров и вот что дальше было =>

Они (ЖЖ-администрация) нарисовали на доске длинное натурально положительное целое число. Потом начали вызывать по очереди всех блогеров и стали проверять их арифметическую грамотность вопросом «а делится ли число на твой номер в очереди?»

Первый блогер оказался самым смышлёным (потому и был первым). Его ответ был прост: «Да, это число делится на 1 без остатка!» — «Само собой, что без остатка» – согласилась администрация, – «это любому младенцу очевидно» – и вызвали второго блогера.

«Это число делится на 2» — сказал второй блогер. «Это число делится на 3» сказал третий — и так далее. Ну, дальше ЖЖ-блогеры из очереди подходили и продолжали. «Это число делится на 50» — сказал последний 50-й блогер.

То есть, они все ответили, что число делится на их номер в очереди. Но как оказалось, два ответа были неправильные. Причём, эти ответы были даны последовательно.

Интересно, какое самое короткое число могли изобрести в администрации ЖЖ, чтобы вот так поразвлекаться во время вынужденной самоизоляции?

источник

А теперь решения прошлой проции задачек о непростых отношениях Знайки и Незнайки, а также невероятных приключениях ЖЖ-блогера в китайском аэропорту.

Напоминаю условия.

Задачка1. Знайка взял большое число, посчитал его факториал и записал результат на доске. Незнайка пришел и стер одну цифру. Как ее восстановить?

Решение: Элементарно. Для этого нам потребуются признаки делимости целых чисел.

Факториал «большого числа» должен делиться на 9 (уже 6! делится на 9). Смотрим на признак делимости на 9 => «Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9″. Ага, то есть, складываем все цифры и смотрим на остаток их деления на 9. Вычитаем этот остаток из девятки (поскольку стёртой цифры не хватает до 9) – вот она, стёртая цифра. Если это не ноль… Поскольку если остатком от деления получили ноль, то это могла быть 9-ка или тот же самый ноль. Зато с вероятностью 1/5 можем быстро восстановить утраченную цифру.

Проверяем. Какой бы факториал взять… Ну, пусть будет 11! = 39916800.

Стираем тройку, сумма цифр 9+9+1+6+8=33, остаток от деления на 9 = 6, вычитаем из 9-ки -> да, получается  тройка. Тоже самое с 8-кой: остаток суммы на 9 будет 1, вычитаем -> восьмёрка.

Значит, требуется более «тонкий» инструмент. Это – признак делимости на 11: «число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11″. Всё. Считаем сумму на чётных позициях, сумму на нечётных (вместо стёртого подставляем ноль), вычитаем одно из другого по модулю, делим на 11 = остаток есть то, что нужно вычесть из 11 чтобы восстановить стёртую цифру.

Проверяем на всё том же 11! = 39916800.

Вычёркиваем 6: 3991?800 => чётные-нечётные = 18,12, вычитаем = 6. Так точно!
Вычёркиваем 3: ?9916800 => 18,15, вычитаем = 3.
Вычёркиваем 9: 3?916800 => 9,18, вычитаем по модулю = 9.

Задачка2. Незнайка стёр две соседние цифры. Как теперь восстановить результат?

Решение: Признак делимости на 101, всё.

Задачка3. Однажды ЖЖ-блогер-путешественник попал в китайский аэропорт. Пароль от вайфая ему сказали, но по-китайски — и блогер не смог его разобрать. Но он понял следующее: пароль от вайфая это такое число, которое при умножении на 4 «переворачивается наоборот», то есть цифры после умножения на 4 меняют порядок на противоположный, что-то вроде «abc..xyz * 4 = zyx..cba». До вылета самолёта остался один час. Вот интересно, успеет ли блогер угадать пароль, подключиться к халявному интернету и отметиться новым постом?

Решение: 2178, например. Как решал – уже не помню. Единственное ли это решение… тоже не помню :) А кто решил – тому помимо кода для продукта вот такая супер-шедевральная фотка от Петровича — снято в Китае, без фотошопов! =>

А кто лучше всех справился с этими задачками? Вот имена героев: , , , .

Всем кто здесь = спасибы и приятного аппетита :) Оставайтесь на этой волне = и до следующих эфиров!