Архив тегов: math

Субботнее головоломство.

Всем привет!

Лето постепенно оттягивает народное внимание и энтузиазм в сторону леса-речки-шашлыков, плюс открываются магазины-салоны и прочие культурно-массовые мероприятия, а офисный планктон частично уже и в рабочие опенспейсы потянулся. Жизнь налаживается! Интернет-активность населения после вынужденного карантинного пика сезонно уходит куда-то близко к нулевым значениям.

Пора и мне временно закругляться, доставать с полок и проверять ботинки-термухи-ветровки и прочую экипировку летнего сезона. Но прежде чем нырнуть в оффлайн-режим, есть у меня ещё немного несложных задачек. Не уверен, что успею вовремя выложить на них ответы, посему заранее приношу извинения (если что вдруг не так).

Задачка-1: Найти все простые числа p=[n²/3], где [x] — целая часть числа x.

Задачка-2: Дана последовательность натуральных чисел, в которой число номер k является произведением k первых простых чисел (2, 2*3=6, 2*3*5=30 => 2,6,30 и так далее). В последовательности есть два числа, разность между куторыми равна 30000. Что это за числа?

Задачка-3: Каким наименьшим числом кругов радиуса 1 можно полностью покрыть круг радиуса 2? (малые круги могут накладываться друг на друга и выходить за края большого круга).

Удачи в головоломстве!

Кстати, прошлую задачку про «тцик и чпок» никто так и не решил. Вот правильный ответ:

Дальше: П, Л и С…

«Чпок», «тцик» и логика налаживания межкультурного диалога.

В прошлый раз на тему логических задачек мы попытались улететь в отпуск в Африку, пройти таможню и проскочить мимо крокодиловой пасти. Но приключения на этом не закончились! Задачки только усложняются =>

Задачка Африка-2: Однажды ЖЖ-блогеры ткнули пальцем в Африку —

и попали в Намибию к племени бушменов, говорящих на щёлкающем языке. При этом бушмены прекрасно понимают английский, а блогеры умеют на нём изъясняться. Блогеры встретили трёх представителей племени: один из них всегда говорит правду, второй всегда лжёт, а третий совершенно случайно говорит то правду, то врёт. Кто есть кто – неизвестно. Также неизвестно как на языке племени будет «да» и «нет». На вопросы они отвечают «чпок» и «тцик». Требуется за три вопроса (только за три!) выяснить кто есть кто. При этом каждый из трёх вопросов задавать только одному бушмену.

Вот такая интересненькая задачка. Если честно, то я так и не придумал как её решать. Но решение есть, «звонок другу» помог его найти, и оно правильное и красивое :) Условие задачки немного замороченое, посему, наверное, требуются некоторые уточнения (а то вдруг вопросы возникнут?)

1. Тупиковые вопросы, на которые нельзя дать ответы – такое спрашивать нельзя. Можно задавать только вопросы, на которые будет получен однозначный ответ «да» или «нет» (то есть, «чпок» или «тцик»).

2. Задавать вопрос можно только одному бушмену, отвечает только этот бушмен и остальные ему не подсказывают. И само собой разумеется, что бушмены точно знают кто из них кто.

Ну, удачи в Африке! :)

А теперь правильные ответы на первую «африканскую» задачку и имена позывные победителей.

Дальше: нет, нет, да, да…

Фотоканал на Flickr

Instagram

Едем в Африку гулять!

А давайте немного пофантазируем на тему летних отпусков. Ведь лето жаркое наступило окончательно и бесповоротно, так почему бы не помечтать, что нет вокруг никаких биологических вирусов-пандемий, что всё идёт по заранее намеченным планам, уже скоро давно запланированный отпуск, самолёты летают и билеты на рейс не прогорели, а лететь в какое-нибудь весьма экзотическое место. Например, что бы такое выбрать… Ну, пусть — а поехали в Африку!

Но поедем «в Африку гулять» (с) не просто так, а с приключениями. Точнее — с таможней и крокодилом. И по этому поводу есть неплохая задачка =>

Задачка Африка-1. Однажды ЖЖ-блогеры собрались в Африку. Для этого им надо пройти таможню, а там две двери — за одной парадайз со слонами и пальмами, а за другой крокодил и всех съест. Двери охраняют два таможенника, каждый охраняет свою дверь. Один из них всегда говорит правду, а второй всегда врёт. Кто есть кто — непонятно. Блогеры могут задать только один вопрос и только одному таможеннику. Какой вопрос нужно задать, чтобы попасть в Африку — а не в крокодилову пасть?

Какой же вопрос нужно задать этим непонятным африканским таможенникам?

И ответы на предыдущую порцию задачек + список самых светлых голов, нашедших правильные решения.

Дальше: действительные корни при отрицательном дискриминанте…

Шашлыки математике не помеха.

Всем привет!

Если кому-то и в воскресенье почему-то делать нечего, то есть и ещё задачки разной степени сложности. Вот такие, например. Сначала совсем простенькие, а потом и далее чуть сложнее. Хорошего всем воскресенья!

Задачка 1. Можно ли представить число 2021^2021 в виде суммы 2021 последовательных нечётных натуральных чисел?

Задачка 2. Какое наименьшее число n > 2020 таково, что число 

a₁⁴ + a₂⁴ + … + aₙ⁴
                             
              5

является целым при любых натуральных a, a, …, aₙ , не кратных 5? 

Задачка 3. На доске в столбик написано 2021 уравнение вида: 

*x² + *x + * = 0

Два игрока последовательно друг за другом в любом уравнении заменяют по одной произвольной звёздочке ненулевыми целыми числами. Первый игрок стремится, чтобы как можно больше этих уравнений не имело действительных корней, а второй старается ему помешать и сделать как можно больше решабельных уравнений. Сколько максимально не имеющих решений уравнений может получить первый игрок вне зависимости от игры второго?

Удачного дня/вечера/и так далее!

Да, все комментарии пока закрыты, чтобы никому не мешать получать удовольствие от процесса решения.

Ага, чего-то не хватает… Ну да — правильного ответа на предыдущую задачку про лягушку. Казалось бы, что может быть общего у лягушки, логарифмов и постоянной Эйлера? Заходите на наш Фан-клуб, вот здесь эта тема полностью раскрыта.

Самое краткое, верное и практически применимое для любой лягушки решение дал Gr Bear.

Среднеарифметическая лягушка.

Всем привет!

Вот наконец-то наступило жаркое лето, народ в городах, посёлках, деревнях и прочих населённых пунктах потянулся на природу, в леса густые и к водоёмам с прозрачной водой. В лесу хорошо… Грибам-ягодам пока ещё рановато, зато просто погулять можно. В реках-прудах повеселее, там рыба плещется и лягушки прыгают.


Кадр из мультфильма «Дюймовочка», 1964 г.в.

И вдруг одной лягушке захотелось перебраться на другой берег! Плыть почему-то ей не захотелось — решила прыгать по кувшинкам. При этом кувшинки выстроены в линию от берега до берега, а лягушка случайным образом прыгает на любую из них в сторону того берега (а может и сразу на тот берег запрыгнуть). Например, если перед ней 5 кувшинок с номерами 1-2-3-4-5, то она может прыгать, например, по кувшинкам 1-3-берег, или 2-4-5-берег, или 1-2-3-4-берег, или же тоже случайно пропрыгать все их 1-2-3-4-5-берег. Длина каждого прыжка (в количестве кувшинок) совершенно случайна и никак не зависит от истории уже прыгнутого.

Алгоритм понятен? Теперь задача. Цитирую как получил:

Лягушка сидит на берегу реки. Хочет попасть на противоположный берег. В реке плавает N кувшинок, все кувшинки выстроены в линию между лягушкой и противоположным берегом. Лягушка прыгает на случайную кувшинку перед ней или на противоположный берег с одинаковой вероятностью. Если приземлилась на берег, то она прекращает прыгать. В противном случае делает ещё один прыжок на случайную кувшинку из оставшихся перед ней. Вопрос: сколько прыжков в среднем она совершит?

Поскольку не все разбрелись по лесам и рекам, по шашлыкам и пляжам – то вот вам субботняя задачка для разминки головного мозга :)

Теперь о предыдущей задачке. Напоминаю, она была про компанию из 30 человек, из которых кто-то всегда говорит правду, а кто-то иногда врёт. Все они сидят по кругу за одним столом. Требовалось выяснить минимальное количество правдорубов для того, чтобы одним вопросом найти хоть одного из них.

Интересная задачка, необычная. Развёрнутый и универсальный ответ для всех случаев дал . Поздравляю!

Правдорубы vs лжецы.

Всем приятных трудовых будней!

А чтобы они, будни, получились совсем весёлыми, у меня есть для вас хорошая задачка :) Не пугайтесь! – в этот раз она не вполне арифметическая. Она логическая и социальная. Про то, как, наплевав на карантины и пандемии, большая толпа из тридцати друзей и просто знакомых собралась на шашлыки с пивом. Они расселись за большой стол и… вдруг оказалось, что среди них есть обманщики! А очень хочется найти кого-то абсолютно честного, чтобы не пропасть здесь навсегда. Для этого им можно задавать вопросы. Однако, количество вопросов ограничено, и вопрос можно задать только один.

Короче, вот вам задачка на подумать про деформацию социального поведения в условиях ограничений свободы выбора проведения летнего отпуска :)

Условие:

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо лжец, либо правдоруб. Всех сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – правдоруб или лжец? (они знают друг друга и кто есть кто). В ответ правдоруб всегда говорит только правду, а лжец может сказать как правду, так и солгать. Известно, что количество лжецов не превосходит X.

Вопрос:

При каком наибольшем значении X всегда можно, зная ответы от всей компании, указать на правдоруба в этой компании? На любого правдоруба, произвольного?

А теперь ответы на прошлую порцию задачек и позывные владельцев талантливых мозгов, решивших её.

Дальше: бесконечный цикл…

Конкретная математика.

Всем привет!

Несмотря на лето-речку-шашлыки тема математических задачек продолжает пользоваться популярностью у читающей публики. Отлично, у меня есть ещё немного вещества для мозгового веселья! Тем более, что на выходных в карантинных условиях других новостей у меня немного :) Принимайте субботние мат-задачки =>

Задачка-1. Доказать, что сумма двух последовательных простых чисел больше тройки раскладывается как минимум на три множителя.

Задачка-2. 1! + 2! + 3! + … + x! = y^2, надо найти все x и y.

В прошлый раз неплохо «зашла» тема поиска чисел из нулей и единиц. Ну, тогда хорошая новость. Есть ещё на эту же тему. Но сначала попроще:

Задачка-3. Для всех чисел от 01 до 99 доказать (или опровергнуть), что существует другое число, произведение с которым состоит только из единиц и нулей – и показать способ его поиска. Все числа натуральные, система счисления 10-тичная (уточняю: 10=десятичная).

И посложнее:

Задачка-4. Доказать, что если число, состоящее только из единиц (111….111) делится на 2017, то оно делится и на 9. И найти минимальное такое число.

Ответы под этим постом скрываются до завтра, 21:00 по Москве.

А теперь правильные ответы на предыдущую задачку и позывные самых ярких мозгов планеты ЖЖ :)

Дальше: 105263157894736842105263157894736842…

Не дай своему мозгу засохнуть!

Всем привет!

Вот и долгожданная запоздалая весна наконец-то пришла в наши края!.. и как-то сразу превратилась в жаркое лето с ярким солнышком, птички свои песни поют, да в перерывах грозы молниями всех пугают. А поскольку все эти поганые биологические вирусы не любят тепла и прямого солнечного света, то и карантинам с изоляциями полный конец, да снова пробки в Москве аж 8 баллов. Жизнь налаживается! И Европу тоже потихоньку «отпускает», только где-то далеко за океаном Южные и Северные Америки всё ещё колбасит, да и другие регионы немного тоже потряхивает – но и у них всё тоже будет хорошо.

К чему это я по такой необычной здесь теме прошёлся? Да просто всё возвращается в своё обычное русло, а потом мы будем вспоминать: «а помнишь, весной 2020-го мы в это время…» :) Так вот, все по делам, на улицу, по работам, шашлыкам-и-дачам, посему нет у меня особых причин продолжать обильные развлечения всех карантинящих разными заумными задачками. Ведь уже два с половиной месяца стараюсь! (первая задачка 28-аж-марта была про доминошки :)

Да и задачки математические, геометрические, логические и прочие постепенно подходят к концу. Но там есть ещё чем головной мозг с извилинами потешить. Вот, например, на праздничных и выходных днях предлагается вот такими несложными вопросами задаться =>

Задачка 1 (лёгкая). Если n²+1 является десятизначным числом, то у него будет как минимум две одинаковых цифры. Почему?

Задачка 2 (посложнее). Берём число 17. Можно ли найти другое число, которое делится на 17 и состоит только из нулей и единиц? Десятичная система, числа натуральные.

И самая сложная ->

Задачка 3. Сегодня ночью мне приснилось загадочное натуральное число, которое заканчивается на двойку. Что замечательного в этом числе: если его умножить на два, то результат состоит из той же последовательности цифр, но двойка переместилась в самое начало. То есть,

2*»пц2″ = «2пц»

(где пц = «последовательность цифр», а не то, что вы могли подумать :)

Что это за число? Хотя бы одно, минимальное? (их, наверное, очень много).

Всем успехов в решениях! Как обычно за наиболее правильные и подробные ответы будут призы. Всем хороших и тёплых дней! И не болеть.

Субботний блиц-мат-марафон: А теперь правильные отгадки!

Мат-блиц-марафон закончен! Всем, кто променял субботние летние шашлыки и другие развлечения на мат-блиц-марафонные задачки – все молодцы, всем большое спасибо за участие! — и, конечно, будут объявлены победители нашего мат-забега. Но для начала – правильные решения. Ну, по крайней мере такие решения, которые мне лично кажутся правильными. На этот счёт могут быть разные мнения, кто же сомневался. Здесь же задачки блиц-турнира и ответы на них публикую в своей версии =>

=== 1 === 

Задачка 1. Сумма квадратов трёх последовательных простых чисел равна простому числу. Найти все такие тройки чисел: pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = p

Решение: Первое простое не может быть двойкой, иначе сумма слева будет чётным числом. Пробуем (3,5,7) => 3² + 5² + 7² = 9 + 25 + 49 = 83 <- простое! Одно решение найдено: 3,5,7,83.

Все простые числа больше тройки при делении на три будут давать в остатке 1 или 2:

p = 1 или 2 (mod 3)

То есть, квадрат простого числа большего трёх при делении на тройку будет всегда давать остаток 1. Сумма квадратов трёх простых чисел при делении на три в остатке даст три единицы, то есть, эта сумма всегда будет делиться на 3 => решений больше нет.

pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = 1 + 1 + 1 (mod 3) = 0 (mod 3)

Дальше: чей кигуруми?…

Субботний мат-блиц-марафон. Финиш! … и десерт :)

Ура! Блиц-мат-марафон завершён! Всем большое спасибо за участие, зрителям за поддержку наших спортсменов, сидящим рядом с вами на карантине и самоизоляции семьям, детям, кошкам-мышкам и прочим животным – тоже спасибо за соучастие в процессе! …даже если ни соучастия, ни процесса не было :) Всё равно вроде бы неплохо получилось. Весело и задорно! И головным извилинам полезно иногда потренироваться немного.

Чтобы побыстрее подсчитать ваши спортивные результаты и объявить чемпионов – большая просьба всем участникам самостоятельно сложить свои баллы и результат положить сюда в комментарии. Все ваши решения в предыдущих постах-задачках уже должны быть открыты.

И вот ещё что. Если кому-то понравилось и нет сил остановиться, то вот ещё задачка. Вне конкурса. Этакий «десерт на сладкое».

===>

Задачка 7. Найти все целые решения: y² = x³ – 1

<===

Всё на этом! Считайте свои баллы, завтра объявлю победителей. И покажу правильные решения :)