Архив тегов: math

Мат-блиц-марафон закончен! Всем, кто променял субботние летние шашлыки и другие развлечения на мат-блиц-марафонные задачки – все молодцы, всем большое спасибо за участие! — и, конечно, будут объявлены победители нашего мат-забега. Но для начала – правильные решения. Ну, по крайней мере такие решения, которые мне лично кажутся правильными. На этот счёт могут быть разные мнения, кто же сомневался. Здесь же задачки блиц-турнира и ответы на них публикую в своей версии =>

=== 1 === 

Задачка 1. Сумма квадратов трёх последовательных простых чисел равна простому числу. Найти все такие тройки чисел: pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = p

Решение: Первое простое не может быть двойкой, иначе сумма слева будет чётным числом. Пробуем (3,5,7) => 3² + 5² + 7² = 9 + 25 + 49 = 83 <- простое! Одно решение найдено: 3,5,7,83.

Все простые числа больше тройки при делении на три будут давать в остатке 1 или 2:

p = 1 или 2 (mod 3)

То есть, квадрат простого числа большего трёх при делении на тройку будет всегда давать остаток 1. Сумма квадратов трёх простых чисел при делении на три в остатке даст три единицы, то есть, эта сумма всегда будет делиться на 3 => решений больше нет.

pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = 1 + 1 + 1 (mod 3) = 0 (mod 3)

Дальше: чей кигуруми?…

Ура! Блиц-мат-марафон завершён! Всем большое спасибо за участие, зрителям за поддержку наших спортсменов, сидящим рядом с вами на карантине и самоизоляции семьям, детям, кошкам-мышкам и прочим животным – тоже спасибо за соучастие в процессе! …даже если ни соучастия, ни процесса не было :) Всё равно вроде бы неплохо получилось. Весело и задорно! И головным извилинам полезно иногда потренироваться немного.

Чтобы побыстрее подсчитать ваши спортивные результаты и объявить чемпионов – большая просьба всем участникам самостоятельно сложить свои баллы и результат положить сюда в комментарии. Все ваши решения в предыдущих постах-задачках уже должны быть открыты.

И вот ещё что. Если кому-то понравилось и нет сил остановиться, то вот ещё задачка. Вне конкурса. Этакий «десерт на сладкое».

===>

Задачка 7. Найти все целые решения: y² = x³ – 1

<===

Всё на этом! Считайте свои баллы, завтра объявлю победителей. И покажу правильные решения :)

И, наконец, шестая часть сегодняшнего мат-забега. Надеюсь, настроение у всех пока ещё боевое? Тогда вот вам, кидаю самую завершающую порцию:

===> 

Задачка 6. Решить в натуральных числах уравнение (1 + nᵃ)ᵇ = 1 + nᶜ, b>1

——

Задачка 6-лёгкая. N-46 и N+37 — полные квадраты, найти N.

<===

На этом совсем всё на сегодня! Результаты будут подведены чуть позже.

Всех доживших до этого уровня – поздравляю с потрясающими успехами! Честно говоря, я не ожидал, что даже до 4й пары задачек дело дойдёт за один день. Все – большие молодцы, снимаю шляпу, цитирую классика: «Пивная! Ещё парочку!» =>

===>

Задачка 5. Решить в натуральных числах (x,y,a,n,m) вот такую красивую систему:

x + y = aⁿ
x² + y² = aᵐ

——

Задачка 5-лёгкая.

Однажды администрация ЖЖ забанила двух блогеров. Им сказали, что вообще удалят их аккаунты нафиг, если не произойдёт вот что => Каждый день оба блогера должны бросать монету (каждый свою). Затем каждый из них должен угадать орёл или решка у другого блогера. Если хотя бы один угадывает — аккаунты сохраняются ещё на один день. Если оба не угадали — всё, конец истории. При этом блогеры забанены и не могут общаться друг с другом. Но после объявления условия они таки успели послать друг другу мессаги и о чём-то договорились.

Ну, вопрос такой: как долго они протянут? Администация ЖЖ злая, но не злопамятная :) Когда-то она простит блогеров и вернёт их из бана. Если ли у них шанс дотянуть до этого светлого дня?

<===

Жизнь должна быть прекрасной и удивительной! Прекрасна она по определению, поскольку за окном яркий летний денёчек, а удивительной её делает четвёртая порция задачек нашего субботнего мат-блиц-марафона. Вот таких:

===>

Задачка 4. Найти все целые решения уравнения y² = x³ + 1

——

Задачка 4-лёгкая. Доказать, что если:
x + 2ˣ = y + 2ʸ
то =>
x + sin(x) = y + sin(y)

<===

Добавлю, что вновь присоединившиеся могут порешать также и предыдущие сегодняшние задачки. Там ещё есть возможность поучаствовать в призах, поскольку некоторые решения в скрытых комментариях частично или полностью неправильные.

Всем привет!

Вот какая возникла идея: а не провести ли нам субботний блиц-турнир по решению арифметических задачек? Вроде тех, что я уже здесь накидывал для всеобщего удовольствия. Но теперь мы это сделаем интереснее и азартнее. За решение задачек будут начисляться очки, а по результату турнира победителям будут отправлены очень ценные и полезные в хозяйстве, на компьютере и умнофонах призы.

Нравится идея? Мне – да :)

Итак, правила игры следующие.

У меня будет заготовлено несколько задачек… например, пять штук. Задачки будут средней сложности, не слишком головоломные. Публиковать я их начну по одной штуке в субботу в 9 утра по московскому времени ВНИМАНИЕ! Важный UPD: по просьбам трудящихся решено было перенести на попозже. Решили начать блиц-тур в 11 по Москве. Как только в комментариях (само собой, скрытых для чужих глаз) появится несколько правильных решений – сразу буду публиковать следущую задачку.

Ах да! Чтобы всем остальным домашним тоже было весело и нескучно – там же рядом будет простенькая задачка. Если же у вас дома есть школьники младших классов или совсем ещё дошкольники, которым эти мозговые тренировки пока не по силам, то придумайте им увлекательные задачки самостоятельно – чтобы вообще всем было интересно.

Баллы за правильные решения будут засчитываться следующим образом: за сложные задачки первый, решивший получает 5 баллов, второй – 3 балла, третий – 2 балла, все остальные по 1 баллу. Первые трое, решившие простенькие задачки – получают каждый по одному баллу.

Кто первый и кто далее? По времени публикации ответа на задачку. То есть, сначала можно дать просто правильный ответ без доказательства решения. Само собой, если комментарий редактируется, то за время публикации считается время редактирования коммента. И – внимание! – затем обязательно нужно привести само решение. Каким именно образом получены окончательные числа (или какой другой результат)? Без доказательства ответы засчитываться не будут!

То есть, если задачка звучит: «2×2=?»,  то первый коммент, по которому засчитывается время, может быть просто «4». Но следом обязательно должно быть обоснование, например: «2×2 = 2+2 = 4, да и в таблице умножения так написано».

Если вы ошиблись и передумали – можно отправить правильное решение после неправильного. Время ответа будет засчитано по правильному решению. А вот ваше неправильное решение после правильного обнулит оба :)

Ну что, потрём извилины в тёплый июньский субботний денёк? :)

Вот ещё что – призы!

Само собой, они должны быть запоминающимися. За первое место — моднявые кигуруми Мидори Кума. Две штуки. И ещё набор моих книжек о путешествиях с личным автографом :) За второе место — один кигуруми и набор книжек. Третье место — набор книжек! А ещё у нас в запасе много защиты от спамеров для умнофонов Who Calls, так что никто из правильно ответивших не уйдёт с пустыми руками.

Ну что, согласны? Попробуем? Ну, тогда до встречи в субботу в 9:00 11:00 MSK! Не пропустите время начала блиц-мат-марафона и публикацию следующих задачек вслед за уже решёнными.

Но это ещё не всё! Ведь есть и очередная сегодняшняя задачка, а также ответы на предыдущие!

Сегодня задачка вот такая:

===>

[??] — округление к меньшему. Найти ‘x’:

[x] + [2x] + [3x] + … + [2020x] = 2020

А теперь попробуйте найти ‘x’ в новых условиях:

[x] + [2x] + [3x] + … + [2021x] = 2021

<===

А теперь – ответы на предыдущие задачки. Напоминаю условия:

Дальше: герои — в студию!…

Ловите третью часть сегодняшнего мат-развлечения! Надеюсь, что вам пока всё нравится.

===>

Задачка 3. Решить в натуральных числах (xʸ) * (yˣ) = (x + y)ᶻ

——

Задачка 3-лёгкая. Есть числа 1,2,3,…,19. Сколькими различными способами можно их переставить так, чтобы в результате записи их подряд без пробелов получился палиндром-перевёртыш?

Например, из {1,2,3,13} можно сложить палиндром 13231. Сколько таких перевёртышей можно сделать из 1,…,19?

<===

Время на забеге фиксируется примерно вот такое: ??? ??? ???

Итак, с первой задачкой вроде бы разобрались, а кто решил правильно — те большие молодцы! :) Как и обещал, есть и второй эшелон задачек. Наверное, чуть посложнее первого. Ловите =>

===>

Задачка 2. Решить в натуральных числах и без тупого перебора:   x² + 19x — x! = 0

——

Задачка 2-лёгкая. Есть набор цифр {1, 3, 4, 6}. Используя четыре арифметических действия +-*/ (плюс, минус, умножить, разделить) и скобки получить 24.

Каждую цифру использовать обязательно и только один раз. Объединять цифры в число нельзя (типа ’13’ и ‘346’ запрещается). Арифметических действий, соответственно, может быть только три (но они могут повторяться). Скобок ставить — сколько угодно. Например,

3*6 + 4 + 1 = 23.
(6+1)*3 + 4 = 25.

А нужно получить 24.

// в качестве дополнительной тренировки: попробуйте получить все числа от нуля до… а до скольки получится?

<===

Что-то много времени ушло на решение первой порции, посмотрим сколько уйдёт на вторую часть.

Всем привет!

…и доброго субботнего утра (или уже дня), дорогие мальчики и девочки. Всем желаю хорошего настроения и ласковой летней погоды за окном! И (как было обещано после дождичка в четверг) – у меня заготовлено пять сложных и тоже пять лёгких задачек, посему начинаю субботний блиц-мат-пятитлон! Но если повезёт решить всё быстро и оперативно, то есть и шестая задачка – и будет аж шеститлон. Посему: экономьте силы!

Напоминаю условия:

✔️ ответ на задачки давать как можно быстрее, по времени публикации будут определяться чемпионские места.
✔️ потом обязательно(!) туда же прицепить решение (доказательство) задачки.
✔️ возможны правки, они будут засчитываться по времени исправления.
✔️ за сложные задачки первый решивший получает 5 баллов, второй – 3, третий – 2, все остальные по 1 баллу; первые трое, решившие простенькие задачки – получают каждый по одному баллу.
✔️ ответы скринятся до конца соревнования.

Победители получат незабываемые и крайне полезные подарки для хозяйства, общего развития и борьбы с телефонным мошенничеством и спамом.

А теперь – начало блиц-марафона! Три-два-один -> начали!

Сначала совсем несложная разминка. Вот такая:

===> 

Задачка 1. Сумма квадратов трёх последовательных простых чисел равна простому числу. Найти все такие тройки чисел.

pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = p

——

Задачка 1-лёгкая. Однажды один умный ЖЖ-блогер написал в своём блоге три буквы четыре цифры и решил их перемножить друг с другом: «2, 3, 4, 5, 6…» — и уснул от мозгового перенапряжения. Какой должен был получиться шестой результат перемножения?

<=== 

Всё на этом для начала. Как только в комментариях будет несколько правильных решений – тут же публикую вторую задачку.

Дальше: а вот и призы!…

Всем привет!

Предыдущие задачки были немного заковыристыми, местами требующими средне-сложных вычислений в экселе на питоне на листке бумаги, но вроде как за пределы общеобразовательных школьных знаний они не выползали. Кто не пропускал занятий по математике в средней школе – все в теории должны уметь решать такие головоломки :) Но сейчас не буду никого грузить высшей арифметикой, сегодня будет простенькое, но со вкусом. Причём надо что-то на тему последних майских выходных и «скоро лето». Ага, вот -> про блогера, который решил попить пива :)

Задачка 1. Однажды некий блогер [втихаря затарился пивом в местном лабазе] налил себе в кружку литр пива. В этом литре пива 99% веса собственно пива и 1% пены. Но блогер отвлёкся и начал бложить какой-то пост. Пока он бложил, пива в кружке осталось 98% от общего веса. Сколько всего пива с пеной осталось в кружке?

Задачка 2. Расстроившись из-за предыдущей задачки блогер вспомнил, что есть два числа, у которых совпадает сумма, произведение и частное. Но никому этих чисел не сказал и… [ушёл в лабаз за апгрейдом пива, причём без пропуска и разрешения]. Пока он туда и обратно — успеем отгадать?

Если успели, то вот ещё одна задачка:

Задачка 3. Есть два несовпадающих друг с другом числа, которые в десятичной записи состоят из одной и той же цифры (оба числа) и у которых сумма совпадает с произведением. Что это за числа?

На всякий случай поясняю: в этих числах встречается только одна единственная цифра, например, ‘9…999’. Цифра в обоих числах одна и та же! Пары «333» и «555» быть не может.

Как мы уже привыкли – комментарии с ответами скрываются до 20:00 по московскому времени.

А теперь давайте таки вернёмся к дважды упомянутой выше «предыдущей задачке», вызвавшей в комментариях громкий скрежет извилин и преждевременную реакцию отторжения возможности существования решения. Решение есть! Всего было найдено аж 22 решения, но наверняка их больше. Кстати, это задачка для самых смышлёных: найти все такие числа :)

Ещё раз напоминаю, что задачка эта с приколом. Надо выйти из зоны комфорта! Тем более, что в одном комментарии уже была сделана робкая попытка в правильном направлении. В общем, попробуйте ещё! Не буду мешать креативно-мыслительному процессу публикацией решения.