Мат-планы на субботу и Округляем к меньшему.

Всем привет!

Вот какая возникла идея: а не провести ли нам субботний блиц-турнир по решению арифметических задачек? Вроде тех, что я уже здесь накидывал для всеобщего удовольствия. Но теперь мы это сделаем интереснее и азартнее. За решение задачек будут начисляться очки, а по результату турнира победителям будут отправлены очень ценные и полезные в хозяйстве, на компьютере и умнофонах призы.

Нравится идея? Мне – да :)

Итак, правила игры следующие.

У меня будет заготовлено несколько задачек… например, пять штук. Задачки будут средней сложности, не слишком головоломные. Публиковать я их начну по одной штуке в субботу в 9 утра по московскому времени ВНИМАНИЕ! Важный UPD: по просьбам трудящихся решено было перенести на попозже. Решили начать блиц-тур в 11 по Москве. Как только в комментариях (само собой, скрытых для чужих глаз) появится несколько правильных решений – сразу буду публиковать следущую задачку.

Ах да! Чтобы всем остальным домашним тоже было весело и нескучно – там же рядом будет простенькая задачка. Если же у вас дома есть школьники младших классов или совсем ещё дошкольники, которым эти мозговые тренировки пока не по силам, то придумайте им увлекательные задачки самостоятельно – чтобы вообще всем было интересно.

Баллы за правильные решения будут засчитываться следующим образом: за сложные задачки первый, решивший получает 5 баллов, второй – 3 балла, третий – 2 балла, все остальные по 1 баллу. Первые трое, решившие простенькие задачки – получают каждый по одному баллу.

Кто первый и кто далее? По времени публикации ответа на задачку. То есть, сначала можно дать просто правильный ответ без доказательства решения. Само собой, если комментарий редактируется, то за время публикации считается время редактирования коммента. И – внимание! – затем обязательно нужно привести само решение. Каким именно образом получены окончательные числа (или какой другой результат)? Без доказательства ответы засчитываться не будут!

То есть, если задачка звучит: «2×2=?»,  то первый коммент, по которому засчитывается время, может быть просто «4». Но следом обязательно должно быть обоснование, например: «2×2 = 2+2 = 4, да и в таблице умножения так написано».

Если вы ошиблись и передумали – можно отправить правильное решение после неправильного. Время ответа будет засчитано по правильному решению. А вот ваше неправильное решение после правильного обнулит оба :)

Ну что, потрём извилины в тёплый июньский субботний денёк? :)

Вот ещё что – призы!

Само собой, они должны быть запоминающимися. За первое место — моднявые кигуруми Мидори Кума. Две штуки. И ещё набор моих книжек о путешествиях с личным автографом :) За второе место — один кигуруми и набор книжек. Третье место — набор книжек! А ещё у нас в запасе много защиты от спамеров для умнофонов Who Calls, так что никто из правильно ответивших не уйдёт с пустыми руками.

Ну что, согласны? Попробуем? Ну, тогда до встречи в субботу в 9:00 11:00 MSK! Не пропустите время начала блиц-мат-марафона и публикацию следующих задачек вслед за уже решёнными.

Но это ещё не всё! Ведь есть и очередная сегодняшняя задачка, а также ответы на предыдущие!

Сегодня задачка вот такая:

===>

[??] — округление к меньшему. Найти ‘x’:

[x] + [2x] + [3x] + … + [2020x] = 2020

А теперь попробуйте найти ‘x’ в новых условиях:

[x] + [2x] + [3x] + … + [2021x] = 2021

<===

А теперь – ответы на предыдущие задачки. Напоминаю условия:

Задачка 1. Однажды некий блогер налил себе в кружку литр пива. В этом литре пива 99% веса собственно пива и 1% пены. Но блогер отвлёкся и начал бложить какой-то пост. Пока он бложил, пива в кружке осталось 98% от общего веса. Сколько всего пива с пеной осталось в кружке?

Ответ: Осталась всего половина литра. Вот потому блогер так огорчился и пошёл за апгрейдом пива во второй задачке.

Почему-то эта задачка ставит многих в полный ступор, но только если её задавать в пиво-безалкогольных терминах. Если тоже самое спросить в других материях… Например: на столе два кошелька. В одном 100 рублей: 99 рублей бумажками и плюс один рубль монетой. Во втором кошельке тоже бумажки и тоже один рубль, но он 2% от всей суммы денег. Сколько всего рублей во втором кошельке? – вот в таких условиях никто тормозить не будет и сразу скажут правильный ответ: …пол-литра! :)

Задачка 2. Обидевшись на ответ на предыдущую задачку, огорчённый блогер вспомнил, что есть два числа, у которых совпадает сумма, произведение и частное — никому этих чисел не сказал и… ушёл за пивом. Пока он ходит туда и обратно, успеем отгадать эти числа?

Ответ. Это тоже просто:

       a+b = a*b = a/b

Из второго равенства следует, что b²=1 => b={-1,1}. Следовательно, второе равенство превращается в два варианта:

b=-1      =>          a-1 = —a
b=1        =>          a+1 = a                <= быть такого никак не может.

Итого, (a,b) = (1/2,-1).

Задачка 3. Есть два несовпадающих друг с другом числа, которые в десятичной записи состоят из одной и той же цифры (оба числа) и у которых сумма совпадает с произведением. Что это за числа?

Ответ: 1.1 и 11.

Решение:

Моё решение несколько замороченное, но вот здесь в комментариях было предложено весьма изящное доказательство от , что как минимум одно из чисел меньше двойки => то есть, оба числа состоят из единиц. Дальнейшие выкладки сразу становятся гораздо проще.

Но если идти «тупо в лоб», то получается как-то вот так:

— Могут ли оба числа быть нулём или состоять только из одной цифры? По условию задачи не могут.
— Может ли одно из чисел состоять из одной цифры? Нет, это видно без арифмометра.

То есть, в их записи как минимум по две цифры (которые одинаковы и не нули). Обозначим эту «единственную цифру» ‘ц’. Смотрим какие могут быть варианты… А вот такие: дробная часть может отсутствовать (число целое), а может быть и бесконечной (дробная часть равна ц/9).

       ц…ццц                (число целое)
       ц…цц.ц…цц      (конечная дробная часть)
       ц…цц.ц…цц…   (бесконечная дробная часть)

Пусть оба числа целые или имеют конечную дробную часть. Тогда последняя цифра произведения будет [ц²], которая должна быть равна последней цифре суммы чисел, то есть либо ц (если дробные части разной длины), либо [2ц] (если дробные части одинаковые). Перебираем всё от 1 до 9: подходят только 1, 2, 5, 6. (Например, тройка не подходит, поскольку произведение троек даёт 9, а сумма 6 – и последняя сумма чисел, состоящих из троек, никак не может быть равна их произведению).

Проверяем сложение и умножение последних двух цифр ->

Двойки: сложение ??22 или ??42 (если дробные части разные), или ??44 (если одинаковые). Произведение: ??84. Двойка мимо.
Пятёрки: ??55, ??05 или ??10 <- против -> ??75. Тоже мимо.
Аналогично шестёрки: ??66, ??26 или ??32 <—> ??56.

Остаются только единицы.

Произведение «хвостов» даёт ??21, то есть длины дробных частей отличаются на единицу. Если количество единиц в обоих числах больше трёх, то произведение заканчивается на ??321 – чего никак не может дать сумма. То есть, одно из чисел состоит из двух единиц (поскольку из одной единицы оно состоять не может никоим образом).

Далее, сумма числа из некого количества единиц и числа только из двух единиц даёт число, в котором могут быть либо две двойки, либо только одна:

       111.1+1.1 = 112.2
       1111+1.1 = 1112.1

Произведение числа из только единиц на ’11’ даёт результат ’12…21′, то есть, второе число состоит либо из двух, либо из трёх единиц.

Сумма чисел состоит из одной или двух двоек внутри и единиц в начале и конце, то есть длина дробных частей отличается на единицу. Итого, из вариантов:

111, 11.1, 1.11 и 11, 1.1

остаются только такие пары:

111 и 1.1            -> сумма 112.1 – не подходит, должно быть две двойки посередине.
11.1 и 11            -> сумма 22.1 – начинаться должно с единицы.
1.11 и 1.1           -> сумма 2.21 – аналогично.
11 и 1.1              -> сумма 12.1, произведение 12.1 – есть! Решение найдено.

2. Теперь пусть одно число целое или имеет конечную дробную часть, а второе – бесконечную дробную часть, то есть второе число есть ц*(1…1 + 1/9). Но тогда сумма чисел будет состоять из некого числа с конечным количеством цифр и бесконечным «хвостом» ц…ц… – чего никак не может быть в произведении чисел, состоящих только из цифры ц.

3. Если оба числа имеют бесконечную дробную часть, то они выглядят следующим образом:

ц*(1…1 + 1/9)
ц*(1…11 + 1/9)

Их сумма будет равна ц*(1…12…2 + 2/9), а произведение ц²*(12…21 + 1…12…2/9 + 1/81). То есть =>

ц*(12…21 + 1…12…2/9 + 1/81) = 1…12…2 + 2/9

=>

ц*12…21*81 + ц*1…12…2*9 + 1 = 1…12…2*81 + 2*9 

Правая часть делится на 9, а левая часть при делении на 9 даст остаток 1. Быть такого не может вообще никогда. Всё.

За решение первых двух задачек и за оригинальный ответ на третью — наградить Gr Bear!

А теперь порассуждаем на тему загадки-восьми-цифр, которую без подсказки вообще никто не отгадал! Ай-яй-яй… Потому и наград за неё сегодня никому не будет. А просто порассуждаем о её решениях. Повторю условие:

Требуется из 8 различных цифр придумать число, которое нацело делится на любую из этих цифр.

Посмотрим на эти цифры: 0123456789. На ноль делить нельзя – следовательно, ноль выкидываем. Если делится на 2 и на 5, то делится на 10 – следовательно, в числе должен быть ноль. Пятёрку тоже выкидываем. Остаются 12346789. Их сумма равна 40, то есть любое число «в одну строчку», составленное из этих цифр на девятку делиться никак не может. Следовательно, требуется другая запись числа.

Какие есть ещё записи? Например, дробные. То есть, решением может быть число примерно такого вида:

??????
   ???

Тут самое время включать признаки делимости чисел. Самый удобный – деление на 9. Чтобы эта хрень взлетела вся эта структура делилась на 9 необходимо, например, чтобы числитель делился на 9, а знаменатель был взаимопрост с 3 (или же чтобы количество троек в разложении на простые у числителя было как минимум на две больше, чем у знаменателя). Смотрим: что можно перенести вниз так, чтобы выполнялось условие деления на 9? Вниз можно утащить четвёрку, например:

{1 2 3 6 7 8 9}
           4

Теперь надо попробовать из верхнего набора составить число, которое делится на 4*8*9*7=2016 (эх, какая бы «вкусная» задачка была бы 5 лет назад…) – но не будем отвлекаться, пробуем. Чем пробуем? Перебором! Начнём с единицы. Пусть искомое число начинается с единицы: 1-{2,3,6,7,8,9}.

Дальше. Оно должно делиться на 32. Увы, в десятичной системе счисления удобных признаков деления на 32 нет. Зато есть признак деления на восемь! — если число из трёх последних цифр делится на 8. Пробуем тем же перебором:

{2,3,6} -> 236 не делится, 326 x, 362 x, 632 – делится, 632 = 79*8.

Получаем 1???632, где ‘???’={7,8,9}.

Подключается признак делимости на 7: 1 — ??? + 632 = 633 — ???  <- эта штука должна делиться на 7. Упрощаем: 632+1 = 633, 633%7 = 3. То есть, из {7,8,9} надо получить число, которое при делении на 7 даёт остаток 3. Перебираем варианты ->

789%7 = 5 мимо, 798%7 = 0 тоже мимо, 879%7 = 4, 897%7 = 1, 978%7 = 5, 987%7 = 0. Таких чисел здесь не обнаружено…

Ну, ладно. «Мы не привыкли отступать, нам расколоть его поможет…» (с) – пробуем следующую тройку цифр и делим все комбинации на восьмёрку ->

{2,3,7} -> 372 x, 732 x – вариантов здесь немного, на 8 они не делятся.
{2,3,8} -> 238 x, 328 !, 382 x, 832 ! – зато здесь два кандидата на решение.

Деление на 7: 1 — {6,7,9} + 328 делится на 7, 329%7 = 0, то есть, {6,7,9} тоже должно делиться на семёрку. Перебор ->

679%7 = 0 сразу! Ну, сразу и попробуем:

1679328
      4

1679328/4 = 419832 <- эта штука должна делиться на 7,8 и 9. Проверяем… делится!

То есть, как минимум одно решение с четвёркой в знаменателе есть. И найдено оно было без экселей и питонов. А всего таких решений с четвёркой их вроде бы аж 22 штуки (список здесь).

Всё. Задачка решена… Но есть некоторая недосказанность. И по этому поводу есть два замечания:

Замечание 1. В знаменатель можно утащить не только четвёрку, но и разные другие сочетания цифр: {1,3}, {9,4}, {9,1,3} и разные прочие тоже. Вот было бы любопытно, а сколько всего решений у этой задачки, если рассматривать искомое число как дробь?

Замечание 2. А кроме дроби какие есть ещё записи чисел? Вдруг я чего-то не знаю…

Теперь на этом совсем всё на сегодня – и не забывайте про субботний блиц-марафон, который начинается в 9 11 утра по Москве! Поставьте напоминалку себе в будильник :)