Архив тегов: math

Сегодняшняя задачка на злободневное:

Однажды блогеров Ивана, Марью, Ромео, Джульетту и Микки-Мауса посадили в карантин. Раз в день санитары выбирают случайного из них и ведут на процедуры. В процедурной есть выключатель и лампочка, которую можно включить или выключить. Как только кто-либо из блогеров понимает, что все остальные хотя бы по разу побывали на процедурах – то сразу идёт к главврачу и говорит об этом. Если угадал – всех выпускают на свободу, нет – всем делают клизму и карантин начинается с нуля.

Карантин жёсткий: все в одиночных палатах, мобилы отобрали, интернетов тоже нет, QR-коды на автотранспорт заказать нельзя. Обмениваться информацией тоже никак. Но пока их везли в больницу они успели договориться о стратегии, смогли выяснить когда всех «отпроцедурили», им вернули мобилы, они вышли на свободу и отбложились по этому поводу. Как они это сделали?

Справитесь? А сколько им в среднем времени на это потребуется? А если их в карантине 10? А если 100? Просто любопытно. Можно даже программу на эту тему написать :) Когда они с 50% вероятностью закончат карантин – ага?

На всякий случай поясняю условия:
— процедуры проводятся только для одного из них и только раз в день;
— санитары выбирают кого-то совершенно случайно;
— нацарапать на стене «здесь был ваня» нельзя — шутники-санираты допишут «маша и все остальные» => сразу клизма и карантин по новой.

Дерзайте!

А я дерзну рассказать решение предыдущего математически-археологического наследия им.Евклида.

Дальше: в поисках неизвестного…

Всем привет!

Сегодняшняя пачка задачек небольшая, но весьма древняя – им более 2 тысяч лет. Известно даже имя математика, который их тогда и решил – это Евклид. И задачки эти посвящены так называемым «совершенным числам», то есть таким, которые равны сумме всех своих делителей. Например, 6 = 1+2+3. Или 28 = 1+2+4+7+14. Вот такая сегодня математическая археология ->

Задачка 1. Евклид доказал, что если 2ⁿ — 1 — простое число, то 2^{(n — 1)} * (2ⁿ — 1) — совершенное (n — натуральное число, само собой). Получится ли нам самостоятельно доказать этот факт? Умнее ли мы Евклида или же всё ещё нет?

Задачка 2. Доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид 2^{(n — 1)} * (2ⁿ — 1), где 2ⁿ — 1 — простое.

Задачка 3. Доказать, что нечётных совершенных чисел не существует.

Шучу! Не буду вас мучить совершенными нечётными числами. Вот что про них пишет Википедия: Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует.

Удачи в математически-археологических упражнениях!

А теперь увлекательное решение предыдущего мат-мат-математического.

Дальше: {a,b,a+b} = {+-1,+-2,+-5}…

И сказал мне стьюдент Билли:
"Я в науках не секу —
Поскорей бы все забыли
Твою математику,
Твою мать.., твою мать.., твою мать..,
Твою математику".

© Контора Братьев Дивановых, "Западло"

Всем привет. Дни смешались в этих карантинах-самоизоляциях… Какое сегодня число? Ага, понедельник, 20 апреля 2020-го всё ещё года. Понедельник день тяжёлый? Ну, тогда давайте его облегчим. Вот такое сегодня будет про 20-04-2020 ->

Задачка1. Есть вот такая красота: A * B * ( A + B ) = 20042020, где А и B — целые числа. Требуется: найти решение или доказать нерешабельность.

Задачка2. Решить в целых числах: (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 30.

Задачка3. Простая задачка, решается за 1 минуту: доказать, что 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133.

А теперь решения предыдущей порции задачек:

Дальше: 2019^2019…

Всем привет!

Раскапывал сегодня разные архивы и нашёл разные занимательные «новогодние-2019» задачки. Ну что — развлечёмся?

Задачка 1. Может ли число, сумма цифр которого равна 2019, быть квадратом целого числа.

Задачка 2. Найти все целые решения уравнения: х² + 2019 = y²

Задачка 3. Найти остаток от деления 2²⁰¹⁹ / 2019. Без калькулятора.

А теперь — решение предыдущей задачки про 50 самых умных ЖЖ-блогеров.

Дальше: первый врать не может!…

Однажды ранним хмурым весенним… не то вечером, не то утром, обалдевшая от само-карантина и селфи-изоляции админстрация ЖЖ решила развлечься :) Для этого они вызвали 50 самых умных ЖЖ-блогеров и вот что дальше было =>

Они (ЖЖ-администрация) нарисовали на доске длинное натурально положительное целое число. Потом начали вызывать по очереди всех блогеров и стали проверять их арифметическую грамотность вопросом «а делится ли число на твой номер в очереди?»

Первый блогер оказался самым смышлёным (потому и был первым). Его ответ был прост: «Да, это число делится на 1 без остатка!» — «Само собой, что без остатка» – согласилась администрация, – «это любому младенцу очевидно» – и вызвали второго блогера.

«Это число делится на 2» — сказал второй блогер. «Это число делится на 3» сказал третий — и так далее. Ну, дальше ЖЖ-блогеры из очереди подходили и продолжали. «Это число делится на 50» — сказал последний 50-й блогер.

То есть, они все ответили, что число делится на их номер в очереди. Но как оказалось, два ответа были неправильные. Причём, эти ответы были даны последовательно.

Интересно, какое самое короткое число могли изобрести в администрации ЖЖ, чтобы вот так поразвлекаться во время вынужденной самоизоляции?

источник

А теперь решения прошлой проции задачек о непростых отношениях Знайки и Незнайки, а также невероятных приключениях ЖЖ-блогера в китайском аэропорту.

Напоминаю условия.

Задачка1. Знайка взял большое число, посчитал его факториал и записал результат на доске. Незнайка пришел и стер одну цифру. Как ее восстановить?

Решение: Элементарно. Для этого нам потребуются признаки делимости целых чисел.

Факториал «большого числа» должен делиться на 9 (уже 6! делится на 9). Смотрим на признак делимости на 9 => «Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9″. Ага, то есть, складываем все цифры и смотрим на остаток их деления на 9. Вычитаем этот остаток из девятки (поскольку стёртой цифры не хватает до 9) – вот она, стёртая цифра. Если это не ноль… Поскольку если остатком от деления получили ноль, то это могла быть 9-ка или тот же самый ноль. Зато с вероятностью 1/5 можем быстро восстановить утраченную цифру.

Проверяем. Какой бы факториал взять… Ну, пусть будет 11! = 39916800.

Стираем тройку, сумма цифр 9+9+1+6+8=33, остаток от деления на 9 = 6, вычитаем из 9-ки -> да, получается  тройка. Тоже самое с 8-кой: остаток суммы на 9 будет 1, вычитаем -> восьмёрка.

Значит, требуется более «тонкий» инструмент. Это – признак делимости на 11: «число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11″. Всё. Считаем сумму на чётных позициях, сумму на нечётных (вместо стёртого подставляем ноль), вычитаем одно из другого по модулю, делим на 11 = остаток есть то, что нужно вычесть из 11 чтобы восстановить стёртую цифру.

Проверяем на всё том же 11! = 39916800.

Вычёркиваем 6: 3991?800 => чётные-нечётные = 18,12, вычитаем = 6. Так точно!
Вычёркиваем 3: ?9916800 => 18,15, вычитаем = 3.
Вычёркиваем 9: 3?916800 => 9,18, вычитаем по модулю = 9.

Задачка2. Незнайка стёр две соседние цифры. Как теперь восстановить результат?

Решение: Признак делимости на 101, всё.

Задачка3. Однажды ЖЖ-блогер-путешественник попал в китайский аэропорт. Пароль от вайфая ему сказали, но по-китайски — и блогер не смог его разобрать. Но он понял следующее: пароль от вайфая это такое число, которое при умножении на 4 «переворачивается наоборот», то есть цифры после умножения на 4 меняют порядок на противоположный, что-то вроде «abc..xyz * 4 = zyx..cba». До вылета самолёта остался один час. Вот интересно, успеет ли блогер угадать пароль, подключиться к халявному интернету и отметиться новым постом?

Решение: 2178, например. Как решал – уже не помню. Единственное ли это решение… тоже не помню :) А кто решил – тому помимо кода для продукта вот такая супер-шедевральная фотка от Петровича — снято в Китае, без фотошопов! =>

А кто лучше всех справился с этими задачками? Вот имена героев: , , , .

Всем кто здесь = спасибы и приятного аппетита :) Оставайтесь на этой волне = и до следующих эфиров!

Всем привет!

Продолжаю путешествие по разным заковыристым математическим и логическим задачкам. Но – увы, плохая новость. Простые задачки у меня совсем закончились, сейчас начнутся немного более сложные. Например, вот такие:

Задачка1. Знайка взял большое число, посчитал его факториал и записал результат на доске. Незнайка пришел и стёр одну цифру. Как её восстановить?

Задачка2. Незнайка стёр две соседние цифры. Как теперь восстановить результат?

Задачка3. Однажды ЖЖ-блогер-путешественник попал в китайский аэропорт. Пароль от вайфая ему сказали, но по-китайски — и блогер не смог его разобрать. Но он понял следующее: пароль от вайфая это такое число, которое при умножении на 4 «переворачивается наоборот», то есть цифры после умножения на 4 меняют порядок на противоположный, что-то вроде «abc..xyz * 4 = zyx..cba». До вылета самолёта остался один час. Вот интересно, успеет ли блогер угадать пароль, подключиться к халявному интернету и отметиться новым блогпостом?

Вот такой пароль точно не подходит…

А пока вы уже задумались, самое время «раскрыть, подсластить и мотивировать» этот процесс, т.е. дать решение предыдущей порции головоломок.

Дальше: t = π*r / (N * v) = (3/4 * r ) / v

Делаем перерыв в путешествиях по Тасмании. Чтобы не приелось и растянуть :) Будем и дальше использовать вбремя удалённой работы с пользой для прокачки различных умственных, эмоциональных, вкусовых и какие ещё бывают скилов. В сегодняшнем меню математического ЖЖ-тренинга — несколько простеньких задачек. При достаточных умениях решаются в уме.

Задачка 1. Найти все последовательные натуральные чётные (например, 2,4,6,8) числа, сумма которых равна 100.

Задачка 2. По экватору Земли протянута верёвка, которая плотно прилегает к экватору. Её разрезали и вставили +1 метр верёвки. На какое расстояние верёвка поднимется над поверхностью земли?

Задачка 3. Какое наименьшее число гирь (вес кратен граммам) требуется для того, чтобы можно было взвесить любое число граммов от 1 до 100 на чашечных весах, если гири можно класть на обе чашки весов?

Задачка 4. ЖЖ-блогер находится в лодке в центре круглого озера радиусом 1. На берегу — гоблин, жаждущий закусить несчастным блогером. К счастью, гоблин может двигаться только по берегу. К несчастью, его скорость превосходит скорость лодки в 4 раза. Всё, что нужно для спасения, — добраться до берега, не попав в лапы гоблина. Получится ли?

Заодно подвожу итог прошлой задачки про 73 бочки несчастья трактирщика.

Дальше: лучшие!…

Возрадуйтесь! Сегодня будет не просто ещё одна логическая задачка, а задачка на злобу дня :) На этот раз средней сложности. Вот такая:

Ещё одна беда пришла к трактирщику (помимо всеобщего карантина и закрытия общепита).

Стало известно, что чистоплюйные поборники абсолютной нравственности взломали замки на дверях, тайком проникли в погреба бездонных запасов трактирщика и засыпали отраву в одну из 73 бочек того самого главного спирто-антивирусного напитка, которым так славится трактир. Тот, кто попробует отравленное пойзоном питья, ему в тот же день станет совсем очень плохо. Он уже ночью провозгласит себя трезвенником и после того — всё. И ни капли! Навсегда.

Представляете? Спиртного ни-ни капли вообще. Вот такие дела…

У трактирщика четверо пьющих слуг. Какое минимальное число дней ему понадобится, чтобы гарантированно найти отравленную бочку, наливая вино своим слугам?

Вот так. Бочек 73, слуг пьющих пока четверо = что делать?

Так, а кто лучше всех отличился в решении предыдущей задачки о 13-ти шарах? Кто глубже всех расШАРил эту тему и получит полезный продукт для защиты домашнего киберпространства?

Дальше: равняйсь на лучших!…

Задачки бывают разные по сложности, на логику, математику, геометрию и разные прочие умения. Задачки, которые требуют глубокопания в высшей математике, комплексных пространствах и с многостраничными формулами – таких здесь не будет. Но будут как сложные, так и простенькие. Поскольку предыдущие задачки были средней сложности (про домино) и достаточно тяжёлая (судоку), то сейчас несколько совсем простых, но красивых задачек.

Задачка 1. Лежат две верёвки. Разной длины. Если поджечь с одного края — они обе горят ровно один час. Скорость горения неравномерна. Может половина гореть почти час, а остальное потом – вжик и всё. А может и наоборот. У вас есть эти две верёвки и зажигалка. Больше ничего нет. Нужно отмерить 45 минут.

Задачка 2. Есть листок в клеточку 10 на 10. Вырезали клетку в верхнем левом и в правом нижнем углах — по одной клетке в двух противоположных углах. Спрашивается: как замостить всю поверхность доминошками 2×1, чтобы они покрывали всю поверхность. Т.е. как (100-2)/2 = 49 доминошек разложить на листке в один слой и чтобы всё было закрыто — как это сделать?

Задачка 3. Ночью мне привиделось число… очень необычное. Оно состоит из 10 знаков, т.е. цифр. Первая цифра равна количеству нулей в этом числе. Вторая цифра = количеству единиц в числе, третья = количеству двоек, … , а последняя = количеству девяток. Очень необычное число. Но — беда! Проснувшись утром я его забыл… Требуется помощь.

Задачка 4. На сообразительность. Есть вот такое «равенство»:

30 – 33 = 3

Надо переместить одну цифру так, чтобы равенство оказалось верным. Задача решаемая. Перемещать разрешается только цифру, а не «чёрточку» :)

Задачка 5. Есть вот такой красивый цилиндр, на который очень аккуратно и ровно накручена тонкая проволока. Проволоки хватило ровно на четыре оборота вокруг цилиндра — от края до края. Длина цилиндра — 12 сантиметров, длина окружности поперечного сечения — 4 сантиметра. Найдите длину проволоки.

Задачка 6. Редакция ЖЖ решила порадовать первую сотню блогеров и испекла для них огромный-преогромный торт, чтобы на всех хватило. Блогеры подходят по очереди. Первый отрезает себе по-честному 1% торта. Второй – 2% от оставшегося торта. Третий – 3% от того, что осталось после первых двух. И так далее. Последний (сотый) забирает себе что осталось — 100% самого последнего куска. Кто из них отрезал себе самый большой кусок? Каким номером выгоднее всего подходить к столу?

Все задачки решаются в уме. Бумагу и карандаш, конечно же, тоже можно – но поверьте, все они при желании «щёлкаются» без дополнительных устройств и предметов.

Ну, успехов в решении! И не скучать в наши грозные времена.

А всем читателям напоминаю:

Самые точные, остроумные, неожиданные и прочие «самые» ответы будут поощрены ценными призами для антивирусной защиты при помощи их (призов) бесконтактной передачи по каналам безопасной связи :)