Год уже успел пробежать целый месяц, а задачки-2019 всё ещё попадаются неосвоенные. Встречаются даже очень вполне нетривиальные, приходится поскрепеть мозгами. Иногда они даже удивляют неожиданными арифметическими открытиями, где вроде бы уже ничего неизведанного не должно было остаться. Но такие усложнения будут в самом конце. В начале будут задачки попроще. Ответы (кому интересно) будут опубликованы через три дня под катом. Или же пытайтесь самостоятельно и оставляйте ваши решения в комментариях. Итак, от простого к более сложному:
Задачка 1. Делится ли 10^2019 + 1 на 10^19 — 1 нацело, то есть без остатка?
Задачка 2. На сетке 2018×2019 отрезали по 1 клеточке в левом верхнем и правом нижнем углах. Можно ли замостить полученный лист доминошками 2×1?
Решили? Теперь тот же вопрос про сетку 2019×2019 и также про 2018×2018.
Задачка 3. Найти все целые решения уравнения: х2 + 2019 = y2
Задачка 4. Делится ли нацело на 9 вот такое число: 12345678910111213…201720182019
Задачка 5. Доказать, что уравнение x^2 + (2^2018)*x + 2^2019 = 0 не имеет целых решений.
Задачка 6. Может ли число, сумма всех цифр которого равна 2019, быть квадратом целого числа. Например, 11 в квадрате есть 121, сумма его цифр равна 4. То есть, для числа 4 решение есть. Существует ли оно для 2019?
Задачка 7. На большой доске мелким почерком написано число, равное 8^2019. У этого числа вычисляется сумма цифр, у полученного числа вычисляется опять сумма цифр и т.д. до тех пор пока не получится одна цифра. Что это за цифра?
Задачка 8. Найти без калькулятора (счёты можно) остаток от деления: 2^2019 / 2019
Дальше: ответы под катом!
