Конкретная математика.

Всем привет!

Несмотря на лето-речку-шашлыки тема математических задачек продолжает пользоваться популярностью у читающей публики. Отлично, у меня есть ещё немного вещества для мозгового веселья! Тем более, что на выходных в карантинных условиях других новостей у меня немного :) Принимайте субботние мат-задачки =>

Задачка-1. Доказать, что сумма двух последовательных простых чисел больше тройки раскладывается как минимум на три множителя.

Задачка-2. 1! + 2! + 3! + … + x! = y^2, надо найти все x и y.

В прошлый раз неплохо «зашла» тема поиска чисел из нулей и единиц. Ну, тогда хорошая новость. Есть ещё на эту же тему. Но сначала попроще:

Задачка-3. Для всех чисел от 01 до 99 доказать (или опровергнуть), что существует другое число, произведение с которым состоит только из единиц и нулей – и показать способ его поиска. Все числа натуральные, система счисления 10-тичная (уточняю: 10=десятичная).

И посложнее:

Задачка-4. Доказать, что если число, состоящее только из единиц (111….111) делится на 2017, то оно делится и на 9. И найти минимальное такое число.

Ответы под этим постом скрываются до завтра, 21:00 по Москве.

А теперь правильные ответы на предыдущую задачку и позывные самых ярких мозгов планеты ЖЖ :)

Задачка 1. Доказать, что если n²+1 является десятизначным числом, то у него будет как минимум две одинаковых цифры.

Решение: Очень просто. Если все цифры разные (0123456789), то их сумма = 45, то есть, делится на 9. Теперь надо посмотреть какие остатки при делении на три даёт n²+1… (n={3k, 3k+1, 3k+2}) и обнаруживаем, что оно на 3 никак делиться не может (а тем более на 9). Всё.

Задачка 2. Берём число 17. Можно ли найти другое число, которое делится на 17 и состоит только из нулей и единиц? Десятичная система, числа натуральные.

Решение. 17 умножить на что-то = число из нулей и единиц. Последняя цифра может быть нулём только при умножении 17-ти на ноль, не подходит. То есть, должна быть единица. Что там получается при умножении 7 на 1-2-3-…-9? => (7,4,1,8,5,2,9,6,3). То есть, тройка: 17*??3 = ??1. На что нужно умножить 17, чтобы второй разряд был нулём или единицей?… И так далее, где по дороге возможны разные варианты => получаем, например, 17*653=1101. Ответ на задачку-2: можно!

Задачка 3. Некоторое натуральное число заканчивается на двойку. Если его умножить на два, то результат состоит из той же последовательности цифр, но двойка переместилась в самое начало. То есть, 2 * «??…?2» = «2??…?».  Что это за число?

Решение. Пусть 2*?…cba2 = 2?…cba. Сразу видно, что a=2*2=4. Затем b=a*2=8, затем нужно учитывать переносы единицы – и так до тех пор, пока не получится единица, которая 1*2=2. Ответ: 105263157894736842105263157894736842.

Если это решение кому-то показалось слишком элементарным, то можно пойти более сложной дорогой: 2*(X2)=(2X) => 2*(x*10 + 2) = 2*10^(a+1) + x… и так далее, но в результате ответ будет тот же.

Правильные ответы на эти задачки дали следующие читатели: kray_zemli, mars_tas, Vladislav Nikolaev, bar_suk. Всех поздравляю, желаю, благодарю и жду ещё!

Прочитать комментарии 3
Комментарии 3 Оставить заметку

    Александр Мельничук

    Задача 3:
    Решение:
    Обозначим пц = a.
    2 * (a * 10 + 2) = 2 * 10 ⁱ + a, где i – количество цифр в a.
    Отсюда:
    20а + 4 = 2 * 10 ⁱ + a
    19a = 2 * 10 ⁱ — 4
    19a = 2 (10 ⁱ — 2)
    a = 2(10 ⁱ — 2) / 19
    Поскольку a – целое, значит 10ⁱ — 2 должно делиться на 19 или 10 ⁱ mod 19 = 2.
    Дробь 1/19 – периодическая, с периодом 18 (https://oeis.org/A007732). Значит для разных i встречаются все остатки от деления на 19: от 1 до 18, и остаток 2 в частности, и значит решение существует.
    Остаётся выяснить, при каком i, остаток будет равен 2. Для этого делим 10ⁱ /19 в столбик. В данном случае нам безразлично, где будет находиться десятичная запятая, поэтому мы можем разделить делимое на 10ⁱ для определённости и делить 1/19.
    Получаем остаток 2 на 17-й итерации (если первой считать деление 10 на 19).
    То есть 10¹⁷ — 2 делится на 19, результат: 5263157894736842. Отсюда
    a = 2(10¹⁷ — 2)/19 = 2 * 5263157894736842 = 10526315789473684
    Проверяем:
    105263157894736842 * 2 = 210526315789473684

    Решения будут повторяться с интервалом i, равным 18, то есть 2(10 ¹⁷⁺¹⁸ᵏ — 2)/19, при k = 0, 1, 2:
    10526315789473684
    10526315789473684210526315789473684
    10526315789473684210526315789473684210526315789473684

    Александр Мельничук

    Сумма двух последовательных простых чисел больше 3 всегда будет чётной. Если поделить её на 2 (первый множитель), то результат будет находиться между этими последовательными простыми числами, а значит не может быть простым, а значит имеет как минимум ещё 2 множителя.

    Vladimir

    Задачка-1. хотите решение в общем виде этой и подобных задач про простые числа?
    Задачка-3. Задачка-4. уже решал.
    Задачка-2. не хочу скрипеть мозгами.
    терема как его там, по мотивам теоремы Вильсона.

Оставить заметку