Конкретная математика.

Всем привет!

Несмотря на лето-речку-шашлыки тема математических задачек продолжает пользоваться популярностью у читающей публики. Отлично, у меня есть ещё немного вещества для мозгового веселья! Тем более, что на выходных в карантинных условиях других новостей у меня немного :) Принимайте субботние мат-задачки =>

Задачка-1. Доказать, что сумма двух последовательных простых чисел больше тройки раскладывается как минимум на три множителя.

Задачка-2. 1! + 2! + 3! + … + x! = y^2, надо найти все x и y.

В прошлый раз неплохо «зашла» тема поиска чисел из нулей и единиц. Ну, тогда хорошая новость. Есть ещё на эту же тему. Но сначала попроще:

Задачка-3. Для всех чисел от 01 до 99 доказать (или опровергнуть), что существует другое число, произведение с которым состоит только из единиц и нулей – и показать способ его поиска. Все числа натуральные, система счисления 10-тичная (уточняю: 10=десятичная).

И посложнее:

Задачка-4. Доказать, что если число, состоящее только из единиц (111….111) делится на 2017, то оно делится и на 9. И найти минимальное такое число.

Ответы под этим постом скрываются до завтра, 21:00 по Москве.

А теперь правильные ответы на предыдущую задачку и позывные самых ярких мозгов планеты ЖЖ :)

Задачка 1. Доказать, что если n²+1 является десятизначным числом, то у него будет как минимум две одинаковых цифры.

Решение: Очень просто. Если все цифры разные (0123456789), то их сумма = 45, то есть, делится на 9. Теперь надо посмотреть какие остатки при делении на три даёт n²+1… (n={3k, 3k+1, 3k+2}) и обнаруживаем, что оно на 3 никак делиться не может (а тем более на 9). Всё.

Задачка 2. Берём число 17. Можно ли найти другое число, которое делится на 17 и состоит только из нулей и единиц? Десятичная система, числа натуральные.

Решение. 17 умножить на что-то = число из нулей и единиц. Последняя цифра может быть нулём только при умножении 17-ти на ноль, не подходит. То есть, должна быть единица. Что там получается при умножении 7 на 1-2-3-…-9? => (7,4,1,8,5,2,9,6,3). То есть, тройка: 17*??3 = ??1. На что нужно умножить 17, чтобы второй разряд был нулём или единицей?… И так далее, где по дороге возможны разные варианты => получаем, например, 17*653=1101. Ответ на задачку-2: можно!

Задачка 3. Некоторое натуральное число заканчивается на двойку. Если его умножить на два, то результат состоит из той же последовательности цифр, но двойка переместилась в самое начало. То есть, 2 * «??…?2» = «2??…?».  Что это за число?

Решение. Пусть 2*?…cba2 = 2?…cba. Сразу видно, что a=2*2=4. Затем b=a*2=8, затем нужно учитывать переносы единицы – и так до тех пор, пока не получится единица, которая 1*2=2. Ответ: 105263157894736842105263157894736842.

Если это решение кому-то показалось слишком элементарным, то можно пойти более сложной дорогой: 2*(X2)=(2X) => 2*(x*10 + 2) = 2*10^(a+1) + x… и так далее, но в результате ответ будет тот же.

Правильные ответы на эти задачки дали следующие читатели: kray_zemli, mars_tas, Vladislav Nikolaev, bar_suk. Всех поздравляю, желаю, благодарю и жду ещё!