Остепенеть!

Всем привет!

Внезапно вспомнилось математическое-прекрасное на баш-орге:

Люди бывают 10 видов: те, кто знают двоичную систему; те, кто не знают и те, кто не ожидал шутку про троичную систему.

И сразу же захотелось снова пощекотать ваши мозги новыми задачками :)

Для начала простенькое упражнение:

Задача 1. На какую цифру заканчивается число 777⁷⁷⁷?

Теперь усложнение, вдруг кому-то захочется немного посамоупражняться?

Задача 2. А две последние цифры получится вычислить?

Если бы я был администрацией ЖЖ, то тут же добавил бы чего-нибудь вот такого :)

Задача 3. А три последние цифры, ха-ха-ха, а то всех забаним!

И на десерт — правильные решения предыдущих задачек, а также награждение героев-победителей.

Сначала — зубомозгодробительная миссия по впихиванию невпихуемого :) Напомню условие:

Есть Г-образный коридор. Рукава коридора сходятся под углом 90 градусов. Ширина коридора = 1. Какой максимальной площади диван сейф можно переместить из одного рукава в другой? Сейф имеет произвольную форму, поворачивать на бок нельзя. Понятнее: какую максимальную плоскую площадь любой формы можно протащить через этот коридор, следуя стрелкам-указателям?

Решение:

После длительных попыток максимизировать «невпихуемое» (начало здесь) получилось протаскивать фигуру «телефонная трубка» площадью 2.295 (здесь).

В интернетах есть настоящие научные изыскания про данную проблему. Например, предыдущий «мировой рекорд» вот такой. А вот текущий рекордсмен (придумано в 2018).

Cо сглаженными углами его «пролезабельность» повышена до аж 2.37 — о как! Википедия тоже отметилась по этому поводу.

Лучшие впихуители впихиватели невпихуемого = Vladislav Nikolaev и flat_area. Молодцы! Поздравляю!

И сразу же решение задачки о шоколадке.

Условие:

Редакция ЖЖ решила в этом году поздравить не только самых лучших блогеров, но и наоборот. А именно: по результатам года будут выбраны два блогера, которые вели себя совсем плохо. Им будет вручена огромная плитка шоколада размером 2020 на 2021 кусочек. При этом один из кусочков с неприятным вкусовым «сюрпризом» (например, перец чили… а может и пурген, крысиный яд… или какая ещё фантазия придёт в голову). Кусочек отличается по цвету от остальных одинаковых кусочков. Правила следующие: блогеры поочерёдно отламывают шоколадку по линии слома и съедают отломанную часть.

Вопрос: кому из них при правильной игре достанется последний, самый «вкусный» ядовитый кусочек? :)

Решение:

Приведём шоколадку от плитки к «кресту» с «ядовитым» кусочком в центре и некоторым количеством плиток в четыре стороны (количество плиток на одной или двух сторонах может оказаться нулевым, если «кусочек» находится на краю или в углу плитки).

Первому надо откусывать так, чтобы двоичная XOR-сумма количества плиток на всех четырёх сторонах была равна нулю. Второй неизбежно будет откусывать так, что XOR-сумма будет отлична от нуля. При любых действиях второго первый очередным укусом «выравнивает в XOR-ноль» стороны шоколадки — и в самом конце «бонус»-плитка достаётся второму.

Поскольку размер шоколадки 2020×2021, то при любом расположении «нехорошего» кусочка изначальная XOR-сумма отлична от нуля:
— по направлению-2021 обе стороны одновременно либо чётные, либо нечётные,
— по оси-2020 одна сторона чётная, другая нет.
=> XOR всех четырёх по младшему биту = 1.

// Решение задачки — частный случай игры Ним.

Поздравляю mikluha_maklai с решением с первого захода!