Едем в Африку гулять!

А давайте немного пофантазируем на тему летних отпусков. Ведь лето жаркое наступило окончательно и бесповоротно, так почему бы не помечтать, что нет вокруг никаких биологических вирусов-пандемий, что всё идёт по заранее намеченным планам, уже скоро давно запланированный отпуск, самолёты летают и билеты на рейс не прогорели, а лететь в какое-нибудь весьма экзотическое место. Например, что бы такое выбрать… Ну, пусть — а поехали в Африку!

Но поедем «в Африку гулять» (с) не просто так, а с приключениями. Точнее — с таможней и крокодилом. И по этому поводу есть неплохая задачка =>

Задачка Африка-1. Однажды ЖЖ-блогеры собрались в Африку. Для этого им надо пройти таможню, а там две двери — за одной парадайз со слонами и пальмами, а за другой крокодил и всех съест. Двери охраняют два таможенника, каждый охраняет свою дверь. Один из них всегда говорит правду, а второй всегда врёт. Кто есть кто — непонятно. Блогеры могут задать только один вопрос и только одному таможеннику. Какой вопрос нужно задать, чтобы попасть в Африку — а не в крокодилову пасть?

Какой же вопрос нужно задать этим непонятным африканским таможенникам?

И ответы на предыдущую порцию задачек + список самых светлых голов, нашедших правильные решения.

Задачка 1. Можно ли представить число 2021^2021 в виде суммы 2021 последовательных нечётных натуральных чисел?

Решение: Элементарно. Для удобства обозначим «среднее число» как X = 2021^2021/2021 = 2021^2020. Оно нечётное и находится как раз посередине последовательности. А далее всё просто: раскладываем ряд с середины: X, X+2/X-2, X+4/X-4 – и так далее, пока не получим 2021 последовательных нечётных чисел.

Задачка 2. Какое наименьшее число n > 2020 таково, что число

a₁⁴ + a₂⁴ + … + aₙ⁴
                             
              5

будет целым при любых натуральных a₁, a₂, …, aₙ , не кратных 5? 

Решение: Чуть сложнее. Нужно заметить, что все натуральные числа в степени 4 при делении на 5 дают следующие остатки:

(5k)⁴ = 0 (mod 5)
(5k+1)⁴ = 1 (mod 5)
(5k+2)⁴ = 16 (mod 5) = 1 (mod 5)
(5k+3)⁴ = 81 (mod 5) = 1 (mod 5)
(5k+4)⁴ = 256 (mod 5) = 1 (mod 5)

Сумма остатков n>2020 единиц впервые делится на 5 при n=2025.

Задачка 3. На доске в столбик написано 2021 уравнение вида:

*x² + *x + * = 0

Два игрока последовательно друг за другом в любом уравнении заменяют по одной произвольной звёздочке ненулевыми целыми числами. Первый игрок стремится чтобы как можно больше этих уравнений не имело действительных корней, а второй старается ему помешать и сделать как можно больше решабельных уравнений. Сколько максимально не имеющих решений уравнений может получить первый игрок вне зависимости от игры второго?

Решение: Уравнение ax² + bx + c не имеет действительных корней если у него отрицательный дискриминант: b² — 4ac < 0. Посему, стратегия первого очевидна: он ставит b в "пустые" уравнения, либо же "добивает" a или c, если осталась одна звёздочка. Стратегия второго обратна: ставить в "пустые" уравнения a (или c – неважно) или "добивать" или добивать до "решабельных" уравнения с одной оставшейся звёздочкой. Итого: первый забирает себе 1011 уравнений, второму остаются 1010.

Что интересно, данная схема не работает на чётном количестве уравнений, посему версию с 2020 строчками пришлось… "самоизолировать" :)

Все три задачки правильно решил Gr Bear. Также хочу отметить bar_suk, kostichek и mikluha_maklai за уверенные попытки, но… немного не дотянувшие до 100%.

kostichek отдельное спасибо за комментарий. В следующий раз будем дублировать unicode-символы более привычными, универсальными.