Субботний блиц-мат-марафон: А теперь правильные отгадки!

Мат-блиц-марафон закончен! Всем, кто променял субботние летние шашлыки и другие развлечения на мат-блиц-марафонные задачки – все молодцы, всем большое спасибо за участие! — и, конечно, будут объявлены победители нашего мат-забега. Но для начала – правильные решения. Ну, по крайней мере такие решения, которые мне лично кажутся правильными. На этот счёт могут быть разные мнения, кто же сомневался. Здесь же задачки блиц-турнира и ответы на них публикую в своей версии =>

=== 1 === 

Задачка 1. Сумма квадратов трёх последовательных простых чисел равна простому числу. Найти все такие тройки чисел: pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = p

Решение: Первое простое не может быть двойкой, иначе сумма слева будет чётным числом. Пробуем (3,5,7) => 3² + 5² + 7² = 9 + 25 + 49 = 83 <- простое! Одно решение найдено: 3,5,7,83.

Все простые числа больше тройки при делении на три будут давать в остатке 1 или 2:

p = 1 или 2 (mod 3)

То есть, квадрат простого числа большего трёх при делении на тройку будет всегда давать остаток 1. Сумма квадратов трёх простых чисел при делении на три в остатке даст три единицы, то есть, эта сумма всегда будет делиться на 3 => решений больше нет.

pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = 1 + 1 + 1 (mod 3) = 0 (mod 3)

——

Задачка 1-лёгкая. Однажды один блогер написал в своём блоге четыре цифры и решил их перемножить друг с другом: «2, 3, 4, 5, 6…» — и уснул от мозгового перенапряжения. Какой должен был получиться шестой результат перемножения?

Увы! – я немного напутал с условием. Должно быть не «четыре цифры», а «четыре числа». В таком случае задачка имеет решение.

Решение: Известны {ab, ac, ad, bc, bd} = {2, 3, 4, 5, 6}. Надо найти d.

ab*cd = ac*bd = ad*bc => 2*6 = 3*4 = 5*d (других вариантов нет) => d=2,4

Если же мы ищем именно «цифру» (натуральное число из одного символа) – то решений действительно не существует.

=== 2 === 

Задачка 2. Решить в натуральных числах и без тупого перебора:   x² + 19x — x! = 0

Решение: Немножко преобразуем в более читабельный вид:

x² + 19x — x! = 0
x + 19 — (x-1)! = 0
(x-1)! — (x-1) = 20                            // Замена (x-1) на y =>
y! — y = y*((y-1)! — 1) = 20

Дальше просто перебираем делители 20: y = {20,10,5,4,2,1}. Подходит единственный вариант y=4. То есть, x=5.

Можно и немного графически решить этот вопрос: x+19 – это прямая, которая неспеша под углом 45 лезет вверх, а x! – практически моментально вылетает за «пределы потолка». При этом факториал начинается в точке {1,1}, а прямая в точке {1,20} (поскольку х>=1). То есть, двух пересечений быть не может. Только одно. Перебираем несколько небольших значений x – и получаем результат.

——

Задачка 2-лёгкая. Есть набор цифр {1, 3, 4, 6}. Используя четыре арифметических действия +-*/ (плюс, минус, умножить, разделить) и скобки получить 24. 

Решение:  6/(1-3/4) = 24.

=== 3 ===

Задачка 3. Решить в натуральных числах (xʸ) * (yˣ) = (x + y)ᶻ

Решение: немного длинное.. Изложу его кратко:

1. Через Наибольший общий делитель НОД(x,y) и бином Ньютона (да, надо развернуть скобки – короче я не придумал) получаем, что x=y.
2. Упрощаем формулу: x^2x = (2x)^z. Отсюда сразу следует, что x чётное, т.е. x = 2^m * p.
3. Подставлям икс в выше полученную формулу и смотрим вот на такого крокодила: (2^m*p)^(2*2^m*p) = (2^(m+1)*p)^z
4. Вытаскиваем p наружу, смотрим чуть пристальнее и видим, что p!=1 только при условии x=0. Что нам совершенно неинтересно. То есть, про p можно забыть, он равен единице.
5. Следовательно, x=2^m. Осталось совсем чуть-чуть. Убираем двойку «снизу» и смотрим только на степени: m*2^(m+1) = (m+1)*z
6. Из чего следует, что z делится на m, а (m-1) = степень двойки. И количество решений бесконечно:

i=1,2,…
m = 2^i — 1
x=y = 2^m
z = m*2^(m+1) / (m+1)

Проверяем для нескольких i=1,2,3 =>

i=1: m=1, x=y=z=2 (уже было выше).
i=2: m=3, x=y=8, z=12.
i=3: m=7, x=y=128, z=224 <- да, подходит.

Всё.

——

Задачка 3-лёгкая. Есть числа 1,2,3,…,19. Сколькими различными способами можно их переставить так, чтобы в результате записи их подряд без пробелов получился палиндром-перевёртыш?

Решение: Сначала внимательно смотрим на набор имеющихся чисел:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Там есть единственный ноль. То есть, чтобы получился перевёртыш, этот ноль должен стоять точно посередине. От него и начнём плясать:

…10…

Слева от нуля стоит единица. Это значит, что и справа тоже должна стоять единица. Если это просто ‘1’, то поставить за ней любое ‘1?’ приводит к тому, что слева надо поставить ’11’ – а далее никак, поскольку две единицы никак не получаются из «скрещивания» оставшихся чисел. То есть, можно поставить только ‘?’ – и там быстро приходим к невозможности дальнейшего «наращивания» полиндрома. То есть, возможна только такая конструкция:

…a 10 1a …

И так далее. В результате получаем вот такой набор возможных вариантов:

i 1h g 1f e 1d c 1b a 10 1a b 1c d 1e f 1g h 1i

Где {a,b,c,d,e,f,g,h,i} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} во всех возможных вариациях. То есть, количество «перевёртышей» будет 9!=362880. Всё.

=== 4 ===

Задачка 4. Найти все целые решения уравнения y² = x³ + 1

Решение: Раскладываем изначальное уравнение на множители:

y² = x³ + 1 = (x + 1)(x² — x + 1)

То есть, (x + 1)(x² — x + 1) есть квадрат какого-то числа. Берём наибольший общий делитель k=НОД(x+1, x² — x + 1) и выносим его за скобки.

x + 1 = k*m²
x² — x + 1 = k*n²

Потом еще чуть мат-алхимии: x² — x + 1 = (x + 1)(x — 2) + 3 , затем заменяем x + 1 = k*m² и подставляем во второе уравнение x² — x + 1 = k*n². Получается k*(n² — m² * (x-2)) = 3, далее уже проще: перебор всех возможных целых делителей тройки: k={-1,1,-3,3}. Отбрасываем нерешабельные варианты (в целых числах) и на выходе получаем решения: (x,y) = (0, +/-1), (+/-3, 2).

Подробнее здесь.

——

Задачка 4-лёгкая. Доказать, что если x + 2ˣ = y + 2ʸ  то => x + sin(x) = y + sin(y)

Решение: Элементарно. Если x>y (или наоборот), то 2^x>2^y (и наоборот). То есть, если x!=y то x + 2^x != y + 2^y

Следовательно, x=y, а тогда можно не только синусы с косинусами, но и вообще какие угодно функции к ним применять.

Есть и другие тоже правильные решения.

=== 5 ===

Задачка 5. Решить в натуральных числах (x,y,a,n,m) вот такую красивую систему: 

x + y = aⁿ
x² + y² = aᵐ

Решение: Если посмотреть на систему уравнений как на графики функций, то первое уравнение – это прямая, а второе – это окружность. Соответственно, решением системы может быть пересечение окружности с касательной (там решение и есть, причём их много) либо пересечение окружности прямой (там решений нет – и это доказывается).

Решение по касательной: x=y=2^(n-1), a=2, m=2n-1 для всех натуральных n.

Отсутствие решений в натуральных числах на пересечениях следуют из внимательного осмотра картинки (окружность и пересекающая её прямая), а также синусов и косинусов получаемых там треугольников.

Подробнее и с рассуждениями здесь.

——

Задачка 5-лёгкая.

Два забаненных ЖЖ-администрацией блогера каждый день кидают монетку (каждый свою) и угадывают орёл или решка у другого блогера. Если хотя бы один угадывает – их аккаунты сохраняются еще на один день. Если оба не угадали — всё, конец истории. При этом блогеры забанены и не могут общаться друг с другом. Но после объявления условия они таки успели послать друг другу мессаги и о чём-то договорились. Вопрос такой:  могут ли они протянуть достаточно долго, чтобы администация ЖЖ забыла обиду и вернула их из бана?

Решение: Да, конечно могут. Первый блогер всегда говорит «орёл» или «решка» по результату своего броска, а второй всегда говорит обратное по своему результату. В результате хотя бы один из них оказывается прав. Переберём варианты. Им выпадает:

решка-решка => первый угадал.
решка-орёл => второй угадал.
орёл-решка => второй угадал.
орёл-орёл => первый угадал.

Всё. Немного скучновато так жить, но протянуть можно достаточно долго :)

=== 6 === 

Задачка 6. Решить в натуральных числах уравнение (1 + nᵃ)ᵇ = 1 + nᶜ, b>1

Решение: Достаточно длинное, через бином Ньютона и сокращение лишнего. Если любопытно, то с этой задачкой мучались здесь.

——

Задачка 6-лёгкая. N-46 и N+37 — полные квадраты, найти N.

Решение: Это просто. Пусть N-46 = x², а N+37 = y². Тогда:

y² — x² = (y-x)*(y+x) = 83 = 1*83 (разложение на множители). Кто-то из множителей единица, второй = 83. Нетрудно видеть, что {x;y} = {42;41} => N+37 = 42^2 = 1764 => N=1727.

=== 7 ===

Вне конкурса.

Задачка 7. Найти все целые решения: y² = x³ – 1

Решение: Убойное! задачка эта решается либо через комплексные пространства и навороченными формулами.. или же просто навороченными доказательствами через леммы и теоремы. Кому любопытно, то можно ознакомиться здесь.

Я сам не понял как там оно доказывается :)

А вот мы и подошли к самой волнующей части мат-блиц-марафона! Кто пораскинул мозгами дальше и глубже всех и дотянулся до ценных призов? :)

Ну, давайте снова считать…

Задачка1: Gr Bear 5, mikluha_maklai 3, bar_suk 2, Ведро Помоев 1. Иван Прокушкин 1.

Задачка1-лёгкая: по 1 surikata_tver, mikluha_maklai, kostichek.

Задачка2: sir_derryk 5, Gr Bear 3, surikata_tver 2, burdaklak 1. pyka_npu3paka 1. Ведро Помоев 1. Иван Прокушкин 1.

Задачка2-лёгкая: kostichek 1.

Задачка3: —

Задачка3-лёгкая: —

Задачка4: —

Задачка4-лёгкая: mikluha_maklai 1. kostichek 1. surikata_tver 1.

Задачка5: —

Задачка5-лёгкая: kostichek 1. surikata_tver 1.

Задачка6:

Задачка6-лёгкая: legantmar 1. mikluha_maklai 1. kostichek 1.

Итого получается:

Первое место — 8 баллов — Gr Bear.
Второе место — 6 баллов — mikluha_maklai.
Третье место — 5 баллов — Ого! А на третье место запрыгнули сразу три участника: sir_derryk, surikata_tver и kostichek — у всех по 5 баллов. Как знал — подписал книжек больше, чем предполагалось!

Поздравляю! Молодцы! С вами свяжутся для пересылки ценных призов. Напоминаю, что все остальные участники кто дал хотя бы один правильный ответ получают поощрительный приз — защиту от спамеров для умнофонов Who Calls.

По итогам прошедшего мероприятия предлагаю признать этот первый опыт успешно преодолевшим состояние кома первого блина :) Пишите в комментариях ваши мысли насчёт развития идеи. Ура!