Субботний мат-блиц-марафон. Задачка-1 про три квадрата.

Всем привет!

…и доброго субботнего утра (или уже дня), дорогие мальчики и девочки. Всем желаю хорошего настроения и ласковой летней погоды за окном! И (как было обещано после дождичка в четверг) – у меня заготовлено пять сложных и тоже пять лёгких задачек, посему начинаю субботний блиц-мат-пятитлон! Но если повезёт решить всё быстро и оперативно, то есть и шестая задачка – и будет аж шеститлон. Посему: экономьте силы!

Напоминаю условия:

✔️ ответ на задачки давать как можно быстрее, по времени публикации будут определяться чемпионские места.
✔️ потом обязательно(!) туда же прицепить решение (доказательство) задачки.
✔️ возможны правки, они будут засчитываться по времени исправления.
✔️ за сложные задачки первый решивший получает 5 баллов, второй – 3, третий – 2, все остальные по 1 баллу; первые трое, решившие простенькие задачки – получают каждый по одному баллу.
✔️ ответы скринятся до конца соревнования.

Победители получат незабываемые и крайне полезные подарки для хозяйства, общего развития и борьбы с телефонным мошенничеством и спамом.

А теперь – начало блиц-марафона! Три-два-один -> начали!

Сначала совсем несложная разминка. Вот такая:

===> 

Задачка 1. Сумма квадратов трёх последовательных простых чисел равна простому числу. Найти все такие тройки чисел.

pᵢ² + pᵢ₊₁² + pᵢ₊₂² = p

——

Задачка 1-лёгкая. Однажды один умный ЖЖ-блогер написал в своём блоге три буквы четыре цифры и решил их перемножить друг с другом: «2, 3, 4, 5, 6…» — и уснул от мозгового перенапряжения. Какой должен был получиться шестой результат перемножения?

<=== 

Всё на этом для начала. Как только в комментариях будет несколько правильных решений – тут же публикую вторую задачку.

Кстати, а вот и призы, которые достанутся самым смысшлёным. Свежеподписанные! :)

Не был в офисе уже полтора месяца! Здесь всё в порядке, а за окном погода наконец-то готовится к наступлению тёплых весенних деньков, которых нам так недодали за прошедшие три месяца. Надеюсь, что после возврата весеннего долга по количеству солнцепёка, погода не пожалеет для всех нас своего жаркого лета! А виды из офиса «после дождичка в четверг» были вот такие:

И – ответ на предыдущую математическую загадочность. Напоминаю условие:

[??] — округление к меньшему. Найти ‘x’:
[x] + [2x] + [3x] + … + [2020x] = 2020
[x] + [2x] + [3x] + … + [2021x] = 2021

Ответ: В первом случае искомый ‘x’ – любой в диапазоне 1/674 <= x < 1/673. Во втором случае задачка решения не имеет.

Почему: Сумма [x]+[2x]+[3x]+… при росте ‘x’ тоже растёт. 1 не подходит, 0 тоже. То есть, результат где-то посередине. Пробуем 1/2 и видим, что слагаемые растут с бешеной скоростью и сумма быстро «улетает в космос».

Ага, давайте попробуем, например, 0.1 и посмотрим какая картинка там вырисовывается. Первые девять в ряду оказываются нулями, следующие 10 единицами, потом 10 двоек и т.д.

1x … 9x => . 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10x … 19x => 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20x … 29x => 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
— и так далее —

То есть, «играя иксом» мы получаем разное количество горизонтальных строк 0-1-2-… Тут же сразу становится понятно, что «играть» надо не «иксом», а длиной строк — их считать гораздо удобнее. Посмотрим на них внимательнее:

Пусть 1/n <= x < 1/(n-1), тогда строки выглядят вот так =>

0: [1], [2], [3],…, [n-1] 0,0,…,0 <- 'n-1' нулей.
1: [n], [n+1],…, [2n-1] 1,1,…,1 <- 'n' единиц.
2: [2n], [2n+1],…, [3n-1] 2,2,…,2 <- 'n' двоек.
…
m: [mn], …

0: 0,0,0,…,0 <- k нулей,
1: 1,1,…,1 <- N-k единиц (в наших условиях N=2020 или 2021).

Сумма всех единиц никак не может быть равна N. То есть, две строки не подходят.

Смотрим на общий случай "m строк«. Тогда получаем, что первая строка состоит из n-1 нулей, затем m-1 строк состоят из чисел 1,2,…,m-1, последняя строка содержит какое-то k чисел m.

Количество всех чисел равно: n-1 + (m-1)*n + k = N => m*n + k = N
Сумма всех чисел будет равна: (m-1)*m/2 *n + mk = N => (m-1)m/2*n + mk = N

И так всё уже видно, но для пущей красоты вычтем нижнее из верхнего:

n*(m – (m-1)*m/2) + k*(1-m) = 1
n*(3m – m^2)/2 + k*(1-m) = 1

При m>2 левая часть отрицательна. То есть, решение возможно только при m=2. Проверяем:

2n + k = N+1
n + 2k = N

=>

n-k = 1
3k = N-1

N=2020, k = 673, n = 674 => 1/674 <= x < 1/673.
N=2021 – решений нет.

Всё.

C решением задачки лучше всего справились: bar_suk и Gr Bear. Ура! Поздравляю! (с вами как обычно свяжутся :)