26 мая, 2020
Задачка про 11.
Всем привет! Как вам прошлые задачки? Нормально мозг вскипел? Или же поленились? :) Неважно. Теперь после весьма непростых задачек – возьмём перерыв. Что-то попроще будет. Например, вот такое:
Однажды администрация ЖЖ совершенно обалдела от карантинов и самоизоляций, да от нечего делать начала умножать разные цифры. Например, они придумали какое-то большое число (целое, натуральное, хорошее число), перемножили все цифры этого числа и где-то в интернете записали результат перемножения. Потом всё стёрли, только две последние цифры от перемноженного остались: «11».
Но один смышлёный блогер, посмотрев на эти цифры «11», заявил, что администрации либо совсем на самоизоляции поплохело, либо они уроки по арифметике в начальной школе пропускали.
Почему он так сказал?
А теперь давайте таки вернёмся к прошлым задачкам, сверим решения и узнаем имена геров.
Ещё раз хочу обратить внимание следующее: здесь и далее (и ранее тоже) решения «на питоне» не принимаются. Скодить такое сможет любая неленивая среднеклассница. Максимум разрешается несложный калькулятор.
Итак, ответы:
Задача 1. На какую цифру заканчивается число 777⁷⁷⁷?
Решение: Последняя цифра числа есть остаток от деления на 10, т.е. сравнение по модулю 10. Интересует только младший разряд числа, остальные разряды не нужны:
777⁷⁷⁷ (mod 10) = 7⁷⁷⁷ (mod 10).
Степени семёрки по (mod 10) образуют последовательность: 7,9,3,1 – и так по циклу. То есть, 7⁴ ≡ 1(mod 10). Итого:
777⁷⁷⁷ (mod 10) = 7⁷⁷⁷ (mod 10) = 7⁷⁷⁶⁺¹ (mod 10) = 7¹⁹⁴˟⁴ *7 (mod 10) = 1*7 (mod 10) = 7.
Задача 2. Какие две последние цифры числа 777⁷⁷⁷?
Решение «в лоб»: Две последние цифры есть сравнение по mod 100.
777⁷⁷⁷ (mod 100) = 77⁷⁷⁷ (mod 100) = (70+7)⁷⁷⁷ (mod 100) =
(нечто бином-ньютонное)*70² + 777*70*7⁷⁷⁶ + 7⁷⁷⁷ (mod 100) =
77*70*7⁷⁷⁶ + 7⁷⁷⁷ (mod 100) = (70+7)*70*7⁷⁷⁶ + 7⁷⁷⁷ (mod 100) =
70*7⁷⁷⁷ + 7⁷⁷⁷ (mod 100) = 71*7⁷⁷⁷ (mod 100) =>
Остатки от степени семёрки при делении на 100: 07, 49, 43, 01,… =>
71*7⁷⁷⁷ (mod 100) = 71*7¹⁹⁴˟⁴ *7 (mod 100) = 71*7 (mod 100) = 97.
Задача 3. Какие три последние цифры у числа 777⁷⁷⁷?
Решение: Здесь немного посложнее.. Это сравнение по mod 1000. Правильное решение предложено Vladislav Nikolaev (здесь) и (здесь).
Ещё можно отметить за первую, самую простую задачку.
У Ella Gatotigrado тоже ответ верный, но непонятно как он получен. Дополняйте ответы выкладками, пожалуйста!
Всем спасибо! Всех поздравляю!
