Впихнуть невпихуемое.

Ага, новый день приносит нам новые загадочные задачки. Что у нас там на сегодня в стеке? Ооооо! Это совершенно волшебный случай, после которого можно брать паузу на публикацию новых задачек на неделю, а то и на две. Это гига-мега-супер интересная (и практически полезная) задачка из геометрии двумерных пространств. Ловите ->

Есть Г-образный коридор – рукава коридора сходятся под углом 90 градусов. Ширина коридора = 1. Какой максимальной площади диван сейф можно переместить из одного рукава в другой? Сейф имеет произвольную форму, поворачивать на бок нельзя.

Для примера — квадратный сейф площадью 1 (1х1) перемещается в 2 движения — до упора по горизонтали, до упора по вертикали.

Сейф не обязательно квадратный, он любой формы. Попробуем, например, полукруг. Тащим его до упора, поворачиваем на 90 градусов, тащим дальше. Получается π/2 = 1,57. Ого! В полтора+ раза больше квадрата…

Кто сколько сумеет протащить максимально? У меня (при помощи добровольных волонтёров) получилось больше 2. Как? Дерзайте!

Ещё раз: интересует только плоская площадь. Какой он по вертикали — неважно, поворачивать на бок и катить сейф нельзя.

А вот решение предыдущей геометрической задачки.

Существует ли выпуклый многогранник, у которого совпадают числовые значения объёма, площади поверхности (всех граней) и суммы длин всех рёбер?

Для затравки начнём с куба.

Пусть сумма всех рёбер будет L.
Сумма площадей поверхностей = S.
Объём полученного изделия пусть = V.

Итого, нам нужно найти или опровергнуть следующее:

L = S = V

В чём будем мерить? Да без разницы. Пусть длина ребра = 1.

Сколько у него рёбер? Двенадцать. Их длина, очевидно, равна их количеству. То есть, L=12.
Площадь поверхности тоже равна их количеству. S=6.
Объём этого куба равен = 1x1x1 = 1=V.

Увы, простейший куб не подходит под решение задачки. Нам нужно чтобы L=S=V, а тут 12,6,1.

Не прокатило, нужно думать далее… А давайте сплющим куб и растянем его немного! Пусть это будет плитка-параллелепипед типа такого:

Что получается для такой фигуры? Длины её граней равны: a,b,c=b.

Длины всех рёбер равны: 8 "длинных" (если по картинке) b и четыре "коротких" a ->

L = 4a + 8b

Сумма площадей поверхностей равна = две большие b*b и четыре a*b ->

S = 4*a*b + 2*b²

// Вот, кому-то пришла пора вспоминать 8-10й классы средней школы и двойки по математике…

А какой объём этой волшебной хрени? Умножаем a на b и на c=b. Что получается?

V = ab²

Итого, если L=S=V, то ->

4a + 8b = 4*a*b + 2*b² = a*b²

Отсюда два равенства:

1) 4a + 8b = ab² => a*(b² — 4) = 8b => a = 8b / (b² — 4)
2) 4ab + 2b² = ab² => a = 2b² / (b² — 4b) => a = 2b / (b — 4)

То бишь,

8b / (b² — 4) = 2b / (b — 4)

Сокращаем на 2b, переносим право-налево…

4*(b — 4) = b² — 4 => b² — 4b + 12 = 0 => (b — 2)² = -8

То есть, квадрат числа равен "минус восьми", что в множестве действительных чисел как-то пока неразрешимо. То есть, "плитка-паррелепипед" не подходит никак и никоим образом. Фигура должна быть другой.

Удачных упражнений с выпуклыми многогранниками!

Решение. Да, такие фигуры существуют. Например, это «призма-карандаш» с 17-рёберный правильным многоугольником в основании, где длина каждого ребра = 0.9469310516, а длина вертикальных рёбер = 9.5072700451. Этакий "карандаш", высота которого в 10 раз больше длины боковых рёбер.

Подробнее вот здесь.

А кто лучше всех справился с этой «многогранной» задачкой? Вот он, герой! — Vladislav Nikolaev. Поздравляю!