Равенство и братство объёмов, длин и плоскостей выпуклых многогранников.

А хорошо пошла геометрия! Тогда вот ещё одна очень-очень неплохая задачка из этой области. ~Год назад мы уже делали подход к этому снаряду, но тогда читателям было куда пойти и что сделать за пределами дома :) и попытка не удалась. Что ж, давайте повторим! Не сомневаюсь, что задачка поможет вам интересно провести самоизаляционные вечера, если они у вас по какой-то причине всё ещё скучные.

Итак, звучит задачка вроде бы несложно:

—> Существует ли выпуклый многогранник, у которого совпадают числовые значения объёма, площади поверхности (всех граней) и суммы длин всех рёбер? <—

Для затравки можно потренироваться на простых фигурах. Например, может ли существовать такая правильная пирамида? А куб? А курносовыпуклый икосододекаэдр? Шучу. Давайте всё же начнём с куба. А потом его немного сплющим и растянем до плитки-параллелепипеда.

источник

А пока вы разнообразите самоизоляционные вечера :) я расскажу решение предыдущей геометрической задачки.

Напоминаю условия.

Задача 1. Однажды самый умный блогер получил награду от администрации ЖЖ и решил повесить её на стену. Для этого он (или она) решил(а) вбить гвоздь точно в угол своей комнаты. Для этого он(а) поставил(а) лестницу впритык к стене (в углу), долез(ла) ровно до середины, сжимая в кулаке гвоздь. Посередине лестницы он(а) вспомнил(а), что забыл(а) молоток. От резкой остановки лестница с блогером подпрыгнули (он(а) резво лез(ла)), лестница стукнулась об пол и начала скользить по нему. Пытаясь затормозить падение блогер воткул гвоздь в соседнюю стену. Вопрос: какую фигуру процарапает гвоздь по обоям прежде чем произойдёт неизбежный бабах?

Решение: Нужно рассчитать движение точки на лестнице, то есть вычислить её координаты (x,y). В зависимости от угла наклона лестницы координаты x и у будут соответственно равны L/2*cos(a) и L/2*sin(a). Далее для простоты будем считать L=2 (это ничему не мешает), а потом просто возведём обе части в квадрат и сложим: сумма квадратов синуса и косинуса угла: cos(a)² + sin(a)² = 1, то есть x² + y² = 1. А это есть… уравнение окружности.

Кстати, в общем случае (если не на середине лестницы) получается эллипс.

Кстати-2, можно и попопроще решить. Поскольку точка ровно посередине лестницы, то координаты концов лестницы будут (0,2y) и (0,2x), то есть, получается прямоугольный треугольник со сторонами x, y и L/2. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы… вроде так они называются, если склероз не врёт :) Но зато тут эллипс (если не посередине) чуть менее красиво получается.

Задача 2. Нужно вычислить закрашенную прощадь:

Решение: Площади треугольников попарно совпадают: A=B, C=D, E=F, G=H.

Площадь закрашенного равна D+E = C+F = 32 — B + 16 — G = 48 — (B+G) = 48 — (A+H) = 48 — 20 = 28.

Задача 3. Есть три окружности неравных радиусов (как на картинке). Ко всем ним проведены касательные линии. Доказать, что пересечения этих линий лежат на одной прямой. Например, вот так. Докажите, что любая другая такая картинка будет с прямой зелёной линией.

Решение: Надо доказать, что центральное пересечение красных линий с зелёной даёт углы, сумма которых равна 180 градусов =>

Надо посмотреть на картинку внимательнее…

И там сразу всё видно :)

Там чуть муторно, можно и покрасивее. Вот, например, очень красивое решение через трёхмерные фигуры от Vladislav Nikolaev:

«Задача про окружности решается из трехмерных соображений. Если не знаешь — вряд ли догадаешься. Вместо окружностей строим сферы с теми же центрами и радиусами. проводим три плоскости — через центры и с двух сторон внешние касательные к сферам. Каждую пару сфер вписываем в конусы. Все три плоскости пересекаются по одной прямой. На этой прямой находятся вершины конусов. Рисунок к задаче это то, что получается при пересечении плоскости, проходящей через центры с остальными поверхностями»

Его, а также john_f_nash благодарю, поздравляю и прошу выдать призы :) Хочу ещё отметить попытку abienscumvento, но предложенное решение имхо получилось не очень убедительное.

Кстати, подкинули ещё одну задачку, которая красиво решается через трёхмерное. Вот такую:

—>Даны 3 параллельные прямые и 3 точки как на рисунке. Точки расположены между двумя крайними прямыми, две в одной полосе и одна во второй. Построить такой треугольник, что его вершины лежат на прямых, а на каждой из сторон расположено по точке. <—