Блогеры против Евклида или Немного математической археологии.

Всем привет!

Сегодняшняя пачка задачек небольшая, но весьма древняя – им более 2 тысяч лет. Известно даже имя математика, который их тогда и решил – это Евклид. И задачки эти посвящены так называемым «совершенным числам», то есть таким, которые равны сумме всех своих делителей. Например, 6 = 1+2+3. Или 28 = 1+2+4+7+14. Вот такая сегодня математическая археология ->

Задачка 1. Евклид доказал, что если 2ⁿ — 1 — простое число, то 2^{(n — 1)} * (2ⁿ — 1) — совершенное (n — натуральное число, само собой). Получится ли нам самостоятельно доказать этот факт? Умнее ли мы Евклида или же всё ещё нет?

Задачка 2. Доказать, что все чётные совершенные числа имеют вид 2^{(n — 1)} * (2ⁿ — 1), где 2ⁿ — 1 — простое.

Задачка 3. Доказать, что нечётных совершенных чисел не существует.

Шучу! Не буду вас мучить совершенными нечётными числами. Вот что про них пишет Википедия: Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует.

Удачи в математически-археологических упражнениях!

А теперь увлекательное решение предыдущего мат-мат-математического.

Напоминаю условия.

Задачка1. A*B*(A+B) = 20042020, где А и B — целые числа. Требуется: найти решение или доказать нерешабельность.

Решение: 20042020 = 2042019 + 1 = [сумма цифр 2042019 = 18, признак делимости на 9] = 9*[что-то] + 1. То есть, это число при делении на 9 даёт в остатке единицу.

Какие могут быть A и B? Ни одно из них не может делиться на тройку, поскольку 20042020 на тройку нацело не делится. То есть, варианты: A=3x+1 или A=3x+2, и B=3y+1 или B=3y+2. Комбинаций 3x+1 и 3y+2 (аналогично 3x+2 и 3y+1) одновременно быть не может, поскольку иначе A+B делится на 3.

Получаем варианты A=3x+1 и B=3y+1 или A=3x+2 и B=3y+2. Подставляем, считаем, по дороге заменяем ‘z=x+y’ ->

{1,1} A*B*(A+B) = (3x+1)(3y+1)(3z+2) = 27xyz + 9xz + 9yz + 3z + 18xy + 6(x+y) + 2 = (cворачиваем 6(x+y)=6z) = 27xyz + 9(xz+yz+2xy) + 9z + 2 = 9*[что-то] + 2 <= не подходит, поскольку при делении на 9 должна быть единица.

{2,2} A*B*(A+B) = (3x+2)(3y+2)(3z+4) = 27xyz + 18xz + 18yz + 12z + 36xy + 24(x+y) + 16 = 9*[что-то] + 16, остаток от деления на 9 будет 7. Тоже не подходит.

Всё.

Задачка2. Решить в целых числах: (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 = 30.

Решение: Если посмотреть на этого мат-крокодила иначе, то будет вот так:

a^3 + b^3 + c^3 = 30, при этом a+b+c=0, c=-a-b =>
a^3 + b^3 — a^3 — 2a^2*b – a*b^2 — a^2*b — 2a*b^2 — b^3 =>
3a^2*b + 3a*b^2 = -30
ab(a+b) = -10 = -1*2*5

Перебираем все возможные варианты {a,b,a+b} = {+-1,+-2,+-5} – решения нет.

Задачка3. Доказать, что 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133.

Решение:
11^(n+2) + 12^(2n+1) = 121*11^n + 12*((11+1)^2)^n) = 121*11^n + 12*144^n

Преобразуем второе слагаемое:
12*144^n = 12*(133+11)^n = 12*(133*[что-то] + 11^n)

Исходный «мат-крокодил» превращается…
11^(n+2) + 12^(2n+1) = 121*11^n + 12*133*[что-то] + 12*11^n = 133*11^n + 133*[что-то].

Готово. Оно делится на 133.

А кто молодец и лучше всех справился с этими задачками? А вот они! Поздравляю!

abienscumvento, mikluha_maklai, Vladislav Nikolaev

Всё на сегодня в нашем клубе арифметиков, всем спасибо за внимание! Дальше будет интереснее.