Однажды 50 самых умных ЖЖ-блогеров…

Однажды ранним хмурым весенним… не то вечером, не то утром, обалдевшая от само-карантина и селфи-изоляции админстрация ЖЖ решила развлечься :) Для этого они вызвали 50 самых умных ЖЖ-блогеров и вот что дальше было =>

Они (ЖЖ-администрация) нарисовали на доске длинное натурально положительное целое число. Потом начали вызывать по очереди всех блогеров и стали проверять их арифметическую грамотность вопросом «а делится ли число на твой номер в очереди?»

Первый блогер оказался самым смышлёным (потому и был первым). Его ответ был прост: «Да, это число делится на 1 без остатка!» — «Само собой, что без остатка» – согласилась администрация, – «это любому младенцу очевидно» – и вызвали второго блогера.

«Это число делится на 2» — сказал второй блогер. «Это число делится на 3» сказал третий — и так далее. Ну, дальше ЖЖ-блогеры из очереди подходили и продолжали. «Это число делится на 50» — сказал последний 50-й блогер.

То есть, они все ответили, что число делится на их номер в очереди. Но как оказалось, два ответа были неправильные. Причём, эти ответы были даны последовательно.

Интересно, какое самое короткое число могли изобрести в администрации ЖЖ, чтобы вот так поразвлекаться во время вынужденной самоизоляции?

источник

А теперь решения прошлой проции задачек о непростых отношениях Знайки и Незнайки, а также невероятных приключениях ЖЖ-блогера в китайском аэропорту.

Напоминаю условия.

Задачка1. Знайка взял большое число, посчитал его факториал и записал результат на доске. Незнайка пришел и стер одну цифру. Как ее восстановить?

Решение: Элементарно. Для этого нам потребуются признаки делимости целых чисел.

Факториал «большого числа» должен делиться на 9 (уже 6! делится на 9). Смотрим на признак делимости на 9 => «Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9″. Ага, то есть, складываем все цифры и смотрим на остаток их деления на 9. Вычитаем этот остаток из девятки (поскольку стёртой цифры не хватает до 9) – вот она, стёртая цифра. Если это не ноль… Поскольку если остатком от деления получили ноль, то это могла быть 9-ка или тот же самый ноль. Зато с вероятностью 1/5 можем быстро восстановить утраченную цифру.

Проверяем. Какой бы факториал взять… Ну, пусть будет 11! = 39916800.

Стираем тройку, сумма цифр 9+9+1+6+8=33, остаток от деления на 9 = 6, вычитаем из 9-ки -> да, получается  тройка. Тоже самое с 8-кой: остаток суммы на 9 будет 1, вычитаем -> восьмёрка.

Значит, требуется более «тонкий» инструмент. Это – признак делимости на 11: «число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11″. Всё. Считаем сумму на чётных позициях, сумму на нечётных (вместо стёртого подставляем ноль), вычитаем одно из другого по модулю, делим на 11 = остаток есть то, что нужно вычесть из 11 чтобы восстановить стёртую цифру.

Проверяем на всё том же 11! = 39916800.

Вычёркиваем 6: 3991?800 => чётные-нечётные = 18,12, вычитаем = 6. Так точно!
Вычёркиваем 3: ?9916800 => 18,15, вычитаем = 3.
Вычёркиваем 9: 3?916800 => 9,18, вычитаем по модулю = 9.

Задачка2. Незнайка стёр две соседние цифры. Как теперь восстановить результат?

Решение: Признак делимости на 101, всё.

Задачка3. Однажды ЖЖ-блогер-путешественник попал в китайский аэропорт. Пароль от вайфая ему сказали, но по-китайски — и блогер не смог его разобрать. Но он понял следующее: пароль от вайфая это такое число, которое при умножении на 4 «переворачивается наоборот», то есть цифры после умножения на 4 меняют порядок на противоположный, что-то вроде «abc..xyz * 4 = zyx..cba». До вылета самолёта остался один час. Вот интересно, успеет ли блогер угадать пароль, подключиться к халявному интернету и отметиться новым постом?

Решение: 2178, например. Как решал – уже не помню. Единственное ли это решение… тоже не помню :) А кто решил – тому помимо кода для продукта вот такая супер-шедевральная фотка от Петровича — снято в Китае, без фотошопов! =>

А кто лучше всех справился с этими задачками? Вот имена героев: , , , .

Всем кто здесь = спасибы и приятного аппетита :) Оставайтесь на этой волне = и до следующих эфиров!