Воскресное. Рассказы и истории.

За неделю эфирного молчания накопилось много интересного. Пора потихоньку возвращать долги. Короткими историями, а потом уже будут длинные и много фоток, как обычно. Начинаю с короткого:

История 1: марафонцы и вампирцы.

Одна моя случайная знакомая olly_ru в своём довольно интересном ЖЖ-блоге рассказывает, что свой очередной супер-ультра-марафон она побежит в Трансильвании. Cначала она ужасается возможным вампирам, но потом узнаёт, что бежать 100км с набором высоты 7000м и возможен снег до двух метров с лавинами… и ужасные вампиры отходят на второй план.

Я же по этому поводу вспомнил хороший вампирский анекдот :)

Собрались вместе три самых известных вампира: Дракула, Франкенштейн и … ну, пускай это будет Микки-Маус, — и начали спорить кто из них самый крутой вампир. Решили продемонстрировать свои умения. Первый — Микки-Маус, он выбежал на улицу, через 10 минут возвращается — у него струйка крови из рта стекает. «Как так быстро? — удивились остальные, — где?» — «А вы в городе на площади заметили дом справа?» — «Заметили…»
Следующим Франкенштейн, возвращается через 5 минут, две струйки крови стекают. «Как, где?» — «А вы на площади заметили дом слева?» — «Заметили».

Следующий мастер-Дракула. У него крылья, потому он в окно вылетел, прилетает через минуту — всё лицо в крови! «Как, где?» — «А вы заметили на площади ратушу в центре?» — «Заметили!» — «А я нет…»

Данная правдивая история была рассказана мне во время экскурсии по Замку Дракулы. Будете в Трансильвании — настоятельно рекомендую посетить. Нас по замку водил просто совершенно шикарный актёр-экскурсовод, о чём здесь был отдельный рассказ 3 года назад.

История 2: Камчатка ностальгическая.

Совершенно случайно ещё один мой постоянный попутчик по Камчатке lusika33 выложил уникальные виды с дрона на кратер вулкана Ксудач и там же водопад. Посмотрел я на это видео, почитал старые рассказы, ой-ой как обратно на Камчатку захотелось…

Но только в гарантированно хорошую погоду! А не как в прошлый раз.

Слово за слово, у нас на фан-клубе обсуждение Камчатки замкнулось на вулкан Камень. И снова накрыли воспоминания!

Камень выглядит страшновато. Видел его в 2010м.

Слева направо троица красавцев: Безымянный, Камень, Ключевская. Кстати, Безымянный опять бабахнул два месяца назад.

Камень крупнее:

Вид на Камень (и Ключевская вдали) с Безымянного:

Камень слева, Ключевская справа, на переднем плане Безымянный:

Ой, ностальгия как мучает, аж сдержаться не могу!!…

История 3: спам-ухахатайка или Космодром в Самарканде.

Наши антиспам-технологии фильтруют массовые рассылки на самом высшем уровне, посему качеством работы нашего «отдела очистки» я вполне доволен и они большие молодцы. Но иногда и очень редко (100% результат даёт только уравнение «2×2=?») нежелательные письма всё же попадают в мой почтовый ящик. На это дело я смотрю профессиональным глазом, поскольку мне интересно как именно и почему они пробивают наши движки, почему на этого конкретного е-таракана не подействовал наш патентованый е-дихлофос? Лезу, смотрю (хотя даже просто по заголовкам иногда сразу можно понять что это спам-разводка), интересуюсь… и иногда встречаюсь с прекрасным. Вот, например, такое прискакало:

Ай, какая красота! И денег относительно немного просят ($2млн на весь проект). Отличный спам, просто замечательный! Но вот что-то наши эксперты начали сомневаться. Массовой рассылки не замечено, ящик честный, прочих характерных для спама деталей не отмечено. Они не исключают, что это «честное письмо». Но это не делает его менее замечательным.

Полный текст:

Здравствуйте меня зовут Барот. Я из Узбикистана, город Самарканд. Мне 28 лет. Любитель изобретатель. Мы с моим партнером изобрили инерционный двигатель. Для такого двителя не нужен топлива. Ми этот двигатель хотим использовать в проекты связаны с космосом.

1; космический туризм

2; для запуска спутника

3; доставки грузов в МКС.

Доставка грузов в МКС сегодня стоит —- 60 млн$

Запуск спутника — 5 млн$

Это минимальнийи сумы на сегодняшний день.

Мы это изменим , наша фирма может доставить за пол цены. Йесли доделать наш проект.

Но по туристам тежи условия билет — 250 тыс.$

Подготовка туриста от 3 дней.

В год около 3 тыс. Туристов.

Космодром хотим построит в Самарканде.

Центральным объектом космодрома станет крупный технический комплекс , где будет осуществляться окончетальная сборка ракеты, Ее тестирование и межполетное обслуживание.

И для наших ракет не нужна больших мест, для его запуска и посатки.

Йесли по короче мне нужен первый клиент. От вас требуется общая сумма 2 млн$. Первый транш 500 тыс. $.

Мне нужно деньги для того чтобы наш двигатель переделать на новый выд ракеты и на испытание.

Йесли все пойдёт хорошо после испытанный. Будутнужны остальные деньги.

А по срокам на следущий год планирую запустить ракету. И до конца года начать отправлять туристов.

За вашу помощ я предлагаю по жизненный обонимент для вас и вашей семьи.

С уважением Барот.

Вот такое волшебное предложение!

// Вспомнилась другая спам-история про «нигерийского космонавта, которого оставили в космосе» :) Перевод из Википедии:

Меня зовут Бакаре Тунде, я брат первого нигерийского космонавта, майора ВВС Нигерии Абака Тунде. Мой брат стал первым африканским космонавтом, который отправился с секретной миссией на советскую станцию «Салют-6» в далеком 1979 году. Позднее он принял участие в полете советского «Союза Т-16З» к секретной советской космической станции «Салют-8Т». В 1990 году, когда СССР пал, он как раз находился на станции. Все русские члены команды сумели вернуться на землю, однако моему брату не хватило в корабле места. С тех пор и до сегодняшнего дня он вынужден находиться на орбите, и лишь редкие грузовые корабли «Прогресс» снабжают его необходимым. Несмотря ни на что, мой брат не теряет присутствия духа, однако жаждет вернуться домой, в родную Нигерию.

За те долгие годы, что он провел в космосе, его постепенно накапливающаяся заработная плата составила 15 000 000 американских долларов. В настоящий момент данная сумма хранится в банке в Лагосе. Если нам удастся получить доступ к деньгам, мы сможем оплатить Роскосмосу требуемую сумму и организовать для моего брата рейс на Землю. Запрашиваемая Роскосмосом сумма равняется 3 000 000 американских долларов. Однако для получения суммы нам необходима ваша помощь, поскольку нам, нигерийским госслужащим, запрещены все операции с иностранными счетами. Вечно ваш, доктор Бакаре Тунде, ведущий специалист по астронавтике.

(оригинальный текст можно найти вот здесь).

Вы логично возмутитесь — неужели кто-то ведётся на такие разводки? Во-первых, да, ведутся. Во-вторых, имеется мнение, что эти письма умышленно пишутся таким стилем, который у подавляющего большинства людей вызывает приступ смеха.

В 2012-м году исследователь из MS выкатил интересное исследование о стиле нигерийских писем и почему только полный дурак может поверить в такую чушь. С его точки зрения, абсурдность текста есть специально выбранный префильтр, позволяющий отсеять из сотен тысяч получателей письма именно тех, с кем будут хорошие шансы получить желаемое. Если бы в этих письмах был более-менее адекватный текст, то мошенникам пришлось бы вести переписку со многими, причем в большинстве случаев безуспешную, а фильтр позволяет оставить наиболее перспективных.

История 4: математическая разгадайка.

Теперь же пора порадовать публику, читающую местные 2*2=4 –математические головоломки, решением недавно заданной 3D-геометрической задачки. Напомню её условие:

Существует ли выпуклый многогранник, у которого совпадают числовые значения объёма, площади поверхности (всех граней) и суммы длин всех рёбер?

Ах, как же красиво звучит задачка! А у красивых задачек обычно бывают очень интересные решения, которые вываливаются в тонны исписанной бумаги и нобелевские премии. Вспомните, например, Великую Теорему Ферма… Ай-ай, что не так? Ага, Нобелевку по математике не вручают. Да, есть такая забавная история :) Короче, за математику дают Абелевскую премию и какие-то ещё другие. Неважно. Есть задачки, у которых простая формулировка, но которая потом вываливается в много-бумажные математические выкладки, гипотезы, бессонницы, да и вообще с ума спрыгнуть можно!

И мне кажется, что задачка про рёбра-площади-объём многоугольника хоть и не тянет на Абелевку, но всё равно очень-очень правильная тема для тренировки ослабших мозговых извилин у современного офисного планктона. Решение и его поиск были забавными. Чтобы не путаться, разобью на несколько логических частей.

Часть 0-нулевая, плоская.

Итак, что означает условие этой задачки? Давайте начнём с плоской фигуры. В размерности 2×2 задачка будет звучать так:

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого совпадают числовые значения площади и сумм длин всех его сторон?

Демонстрирую очевидное решение на примере квадрата:

Сумма длин всех сторон = 4a. Площадь = a².

Решаем уравнение «сумма длин 4a = площади a²«… Получаем квадрат со стороной 4. Сумма длин всех граней равна 16, площадь такого квадрата тоже равна 16. Ура! Решение найдено просто сразу.

Часть 1-первая, кубическая.

Но если теперь посмотреть на аналогичную задачку про куб… то «индейское жилище фигвам» (с) кот Матроскин из Простоквашино.

Длины рёбер = 12 штук. Площади сторон = 6 штук. Объём = един и неделим. Формула получается: 12a = 6a² = a³. Попытка решить такую формулу приводит к тому, что 12=6a и одновременно 6=a (если сократить на ‘a‘ левую и правую части равенства). Итого, просто «тупо куб» не катит. («круглое нести, квадратное катить» (с) старо-советская армейская мудрость :)

Часть 2-вторая, кирпичная.

Можно попробовать ещё «кирпич-параллелепипед»… Но перед всеми остальными арифметическими ужасами изящными изложениями мне кажется, что надо 1) ещё раз повторить условие задачи; и 2) ввести в оборот обозначения суммы длин, прощадей сторон и объёма фигуры. Чтобы понятнее было.

1. Задача звучит так: Нам нужно найти выпуклую геометрическую фигуру или доказать невозможность этой фигуры, у которой в единых измерениях равны сумма всех рёбер, площадей граней и объём.

2. Обозначения: пусть длина ребра номер i будет L_i, а сумма всех рёбер будет L. Площадь поверхности = S_i, а их сумма = S. Объём полученной хрени пусть = V. Итого, нам нужно найти или опровергнуть следующее:

L = S = V

Увы, с кубом, просто «в лоб» на простейшей модели – не получилось. Давайте попробуем кирпич-параллелепипед, вот такой:

Для него условия задачки L = S = V звучат так: сумма длин рёбер равна сумме площадей поверхностей и равна объёму фигуры. В цифрах это будет означать:

4a + 4b + 4c = 2ab + 2ac + 2bc = abc

Но этого быть не может никак. Поскольку из 2ab + 2ac + 2bc = abc следует, что c>2 , поскольку если c<=2, то просто вычитаем из уравнения abc и получаем:

(2-с)*ab + 2ac + 2bc = 0

Если предположить, что c<=2, то сумма трёх (или двух при c=2) положительных чисел не может быть равна нулю. Аналогично получаем, что a и b тоже больше двойки: a>2 и b>2.

Ок, давайте посмотрим на другую часть уравнения: 4a + 4b + 4c = 2ab + 2ac + 2bc и сокращаем сразу на 2:

2a + 2b + 2c = ab + ac + bc

Но если a,b,c>2, то правая часть будет всегда больше левой. Итого, параллелепипед-кирпич не подходит ни в каком случае.

Часть 3-третья, научно-теоретическая.

Куда бы пойти покопать дальше? И вот тут я застрял с решением в общем случае… Куда двигаться? Пойти что ли Википедию про многогранники почитать? Ага, вот что на эту тему говорит теорема Эйлера:

Пусть В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его рёбер и Г — число граней. Тогда верно равенство: В — Р + Г = 2

Как это можно применить к нашему случаю?… Который звучит так:

Длина всех рёбер => L = L₁ + L₂ + … + L_n

Площадь поверхности => S = S₁ + S₂ + … + S_n

А объём… Поскольку многогранник выпуклый, то можно вот так: выберем внутри какую-нибудь точку и проведём линии во все вершины. Получается, что мы разделили многогранник на nпирамид. Пусть расстояние от этой внутренней точки до вершин = h₁,h₂,…,h_n. Тогда объём многогранника => V = 1/3 * ( S₁*h₁ + S₂*h₂ + … + S_n*h_n )

Наверное, с этими формулами можно что-то сделать.. Но вот что именно?

Кстати, отсюда сразу невозможность существования правильного многогранника с L=S=V. Поскольку у такого многогранника все L и S одинаковы, а выбрав точку точно в центре, получаем и одинаковые внутренние пирамиды. То есть,L = n*L1

S = n*S₁

V = n * 1/3 * S₁*h

То есть, S = V => n*S₁ = n * 1/3 * S₁*h => h=3 строго категорически. И что? Ой, что-то неочевиден как-то вывод о невозможности правильного многогранника. Не складывается.

Часть 4-четвёртая, правильная и многогранная.

Тут же очевидно возникает желание тупо перепробовать все правильные многогранники (кроме куба — его уже вычеркнули). Итак, все правильные многогранники? Их же всего 5. Проще всего куб (он же гексаэдр) с ребром длины a. Для него формула L=S=V будет выглядеть вот так: 12a = 6a2 = a3. Это как бы нерешаемо (уже проходили).

Пирамида (тетраэдр). Можно прямо из википедии брать все формулы. L = 6a, S = √3*a² , V = (√2/12)*a³

L=S => a=6/√3 , тогда V = (√2/12) * 6³ / (3*√3) = (√2/√3)*6 — и тоже не подходит под равенство L=S=V.

Октаэдр. L = 12a , S = 2a²*√3 , V = (√2/3)*a³

Что получается… a = опять 6/√3 , V = (√2/3)*6³/(3*√3) = (√2/√3)*24 , поскольку V равно L=6a, то (√2/√3)*24 должно быть равно = 36/√3 , и тоже мимо..

Первые три фигуры готовы. Идём дальше.

Додекаэдр. 30a = 3a²*√(5*(5+2√5)) = a³*(15 + 7√5)/4 ==> … … И все остальные тоже нет! Поскольку там начинаются с разных сторон корни в корнях и под корнями из немного взаимнопростых чисел. Отказать.

Часть 5-пятая, сжатие и расширение.

Ну, ладно. Но я же не привык сдаваться! Если думать интуитивно, то ведь если потрогать тот же самый просто куб… Если на него посмотреть чуть иначе. Существует ли куб, у которого числовая сумма площадей граней совпадает с объёмом? То есть, надо решить вот это:

6a² = a³

Да очевидно! У такого куба a=6. И получается S=V=216. А какова сумма длин рёбер у такого куба? L=12a=76. Маловато будет… А что если такой куб начать «сжимать» по углам, чтобы объём оставался равен сумме площадей, но при этом росла сумма длин рёбер (наращиваем рёбра на общей площади=объёме) =>

Эта смелая попытка вроде бы очевидно приводит к техническому решению задачки, но математически она засасывает в болота бесконечных формул вроде таких:

L = 12a – 24b + 24*√2*b = 12a – 24*(√2-1)*b

S = 6a² – 24*b²/2 + 8* √3/4 *2b² = 6a² – 12*b² + 4*√3 *b² = 6a² — 4(3 — √3)*b²

V тетраэдра = √2/12 * ребро³.

V = a³ – 8*(√2/12 * 2*√2 * b³) = a³ – 8/3 * b³

Итого, счастье:

L = 12a – 24*(√2-1)*b

S = 6a² — 4(3 — √3)*b²

V = a³ – 8/3 * b³

Математический способ решения подобной системы уравнений мне на текущий момент неизвестен, там если разворачивать и подставлять, то ужас ужасный из болот поднимается, хуже вапмиров-Дракулы и самых ужасных поделий самого ужасного Голливуда. Типа:

a = √ (2/3*(3 — √3)*b² — 4*(√2-1)*b + 1) + 1

Ай, сделайте мне хорошо, приятно и чтобы я никогда больше не видел таких извращений! :)

Часть 6-шестая, уныние и отчаяние… нежданная помощь.

И тут я уже совершенно приуныл, растерялся. Что же делать?… Кто виноват?… Вроде всё плохо… Но «хорошие люди» подсказали вскопать делянку в области правильных призм (т.е. призм, у которых основание – правильный многоугольник, а боковые грани — прямоугольники). Там и проросло решение нашей задачки. Вот такое ->

Часть 7-седьмая, призматическая, сквозь которую видно многое.

Давайте посмотрим на вот такую призму, в основании которой правильный многоугольник со стороной a, всего таких сторон пусть будет n штук, а высота призмы пусть будет h. Но не всякие призмы нам интересны, а только «правильные», у которых боковые грани стоят вертикально «в небо» направленные. Вот такие =>

Что мы можем сказать про такую очень правильную и полезную призму?

L = Сумма длин её рёбер: L = 2*a*n + n*h.

Все согласны?

S = Сумма площадей поверхностей = … n штук вертикальных прямоугольников a*h плюс две площади многоугольников снизу и сверху, которые вычисляются вот так: здесь вся правда о площади правильных многоугольников => Площадь многоугольника с длиной ребра a и количеством рёбер n равна => S правильного многоугольника = 1/4 * n * a² * ctg(π/n) , где ctg = котангенс, если кто забыл что это такое.

Что получается вместе… Общая площадь поверхностей S =>

S = a*h*n + 2 * 1/4 * n * a² * ctg(π/n) = a*h*n + 1/2 * n * a² * ctg(π/n)

V = Объём же всей этой хрени будет равен… Площади поверхности многоугольника помноженное на — ха-ха! — это самое h!

V = 1/4 * h * n * a² * ctg(π/n)

Итого, поскольку L=S=V … то неизбежно ->

2*a*n + n*h = a*h*n + 1/2 * n * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * n * a² * ctg(π/n)

Вроде бы из этого двойного уравнения выползают множества открытий, сейчас мы на них и посмотрим…

Часть 7.1-седьмая-точка-один: сейчас можно попить чаю-кофе, дальше будет самое интересное.

Итак, поскольку L=S=V то получили следующую систему уравнений:

2*a*n + n*h = a*h*n + 1/2 * n * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * n * a² * ctg(π/n)

Надо бы её решить. Ага, а её сразу можно упростить, поделив все части на n ->

2*a*n + n*h = a*h*n + 1/2 * n * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * n * a² * ctg(π/n) => 2a + h = a*h + 1/2 * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * a² * ctg(π/n)

Уже значительно легче! :) Посмотрим на правое равенство, которое вытекает из S=V и давайте выделим оттуда котангенс:

a*h + 1/2 * a² * ctg(π/n) = 1/4 * h * a² * ctg(π/n)

Сразу же можно сократить на a =>

h + 1/2 * a * ctg(π/n) = 1/4 * h * a * ctg(π/n) => ctg(π/n) = h / (1/4 * h*a — 1/2 * a) = (умножаем на 4) = 4h / (a*(h-2))

Давайте запомним это знание о нашем котангенсе и пометим его меткой «(1)» ->

ctg(π/n) = 4h / (a*(h-2)) (1)

Далее, а давайте применим это знание к левой части системы уравнений, где L=S и заменим котангенс =>

2*a*n + n*h = a*h*n + 1/2 * n * a² * 4h / (a*(h-2))

Везде можно сократить на n, а справа сокращаем a и двойку =>

2a + h = a*h + 2a*h / (h-2)

Сводим вместе правую часть =>

a*h + 2a*h / (h-2) = (ah² — 2ah + 2ah) / (h-2) = ah² /(h-2)

Жизнь всё проще и проще! =>

2a + h = ah² /(h-2)

Кстати, сразу вывод: h не может быть равно или меньше двойки. Иначе справа будет отрицательное число или деление на ноль.

Умножаем обе стороны на (h-2) =>

2ah + h² — 4a — 2h = ah²

И получаем знание про a =>

a = h*(h-2) / (h² — 2h + 4) (2)

А теперь подставляем это знание в (1), где котангенс =>

ctg(π/n) = 4h / (a*(h-2)) = 4h * (h² — 2h + 4) / h*(h-2)² = 4 * (h² — 2h + 4) / (h-2)²

Разворачиваем в квадрат…

(h² — 2h + 4) = (h² — 4h + 4) + 2h = (h-2)² + 2h

Подставляем… получается:

ctg(π/n) = 4*((h-2)² + 2h) / (h-2)² = 4 + 8h / (h-2)²

Итого, у нас два волшебных уравнения:

a = h*(h-2) / (h² — 2h + 4)

ctg(π/n) = 4 + 8h / (h-2)²

Вроде бы у этой системы должно быть бесконечное количество решений. Надо только внимательнее на неё посмотреть. И, если следуя только что озвученному совету самого себе самому себе, то есть, внимательно посмотреть на вот это равенство из предыдущих измышлений =>

ctg(π/n) = 4 + 8h / (h-2)²

то видно, что при стремлении h к бесконечности конструкция 8h / (h-2)² стремится к нулю (это надо объяснять, или сразу понятно?). То есть, котангенс некоего π/n стремится к 4 + почти ноль. Что же это может быть?

ctg(x) >= 4

Это может значить только то, что нужно изучить неравенство ctg(π/n) >= 4 — что про него можно выяснить? Очевидно, надо взять арккотангенс!

π/n <= act(4) = 0,2449786631… (десяти цифр после запятой вроде достаточно).

То есть, n >= π / 0,2449786631 = 12,82394… (здесь на самом деле достаточно цифр до запятой). То есть, существование призмы L=S=V возможно только при количестве граней многоугольника в основании призмы 13 или больше.

А давайте попробуем подсчитать — ведь столько уже букв написано, что надо бы и цифры какие-то конкретные получить. Например, n= … какое бы число выбрать? Ну, пусть 17 — моё любимое. n=17.

Имеем формулу ctg(π/n) = 4 + 8h / (h-2)²

Подставляем… ctg(π/17) = калькулятор сообщает 5.3495275055…

То есть, h / (h-2)² = 1.3495275055/8 = 0.1686909381… Можно, конечно ручками подсчитать => 0.17*h2 — 1.675h + 0.675 = 0 но лень, залезем в калькулятор.. который выдаёт вот так:

h1 = 0.4207306599 <- не подходит, поскольку h должно быть >2.

h2 = 9.5072700451 <- оно!

Калькулируем уравнение (2) для этого h =>

a = h*(h-2) / (h² — 2h + 4) = 71.3736436202 / 75.3736436202 = 0.9469310516

Всё. Нашли такой многогранник, у которого равна сумма длин всех рёбер, площадь поверхности и объём. Это призма, в основании которой правильный многоугольник о 17 рёбрах, где длина каждого ребра = 0.9469310516, а длина вертикальных рёбер = 9.5072700451. Этакий вертикальный «карандаш», высота которого в 10 раз больше длины боковых рёбер.

Всё! Уфффф… Задачка решена теоретически и практически. Занавес.

Часть 8-восьмая.

P.S. Желающие могут подсчитать длину горизонтальных и вертикальных рёбер для других n>12. Или даже программку написать :)

P.P.S. Если какой-то части читающей публики понравились вот такие математические приключения, то я готов накидывать ещё и ещё. Их есть у нас!

P.P.P.S. -> Интересно, а есть ли хоть у кого-то хоть малейшее желание попробовать решить такую же задачку с четырёхмерными многогранниками? Мне просто интересно посмотреть проекцию решения на наш обычный 3D-мир.

На этом всё, всем хороших шашлыков и прочих выходных развлечений!