Ответы на Задачу-2020.

Дзыньььььььь!.. Разносится по просторам праздничных столов, склонов, пляжей и других плоскостей и не очень, на которых по-новогоднему настроенные граждане предаются веселью и забавам. Бабаххх-бабаххх!!!! – отвечают на это фейерверки и прочие увеселительные мероприятия по всему шарику, да показывают это всё за окном и по телевизору.

Но всё! Мы бодро и уверенно вступили в новый год. Можно ещё немного поразлагаться… особенно там, где для этого забронированы специальные январские дни. Но, чу! — грядёт, неминуемо грядёт возвращение к будням! :) А как же без будней? Нужно же как-то обеспечивать те самые праздничные "плоскости и не очень", да и вообще настоящий праздник познаётся исключительно на контрасте.

Посему — вдохнули-выдохнули, присели-отжались — сейчас будет упражнение умственной декомпрессии, чтобы придать тонус интеллекту и плавно подготовить мозг головы к приведению в рабочее состояние. НО! Загадывать сегодня я ничего не буду (это будет чуть позже). Наоборот — на потеху публике будем решать ранее заданную задачку о "Математически-сбалансированном-2020".

Помните? Задачка несложная: как простыми арифметическими действиями получить из чисел "10 9 8 7 6 5 4 3 2 1" номер нового года 2020. Потом убираем "10", усложняем задачку. Потом и "9" стираем – остаётся "8 7 6 5 4 3 2 1 = 2020". И так далее. А в конце получим "2020" из "2 1" — да-да! Просто из двойки и единицы. И самое сложное: как получить "2020" из одной только единственной единицы.

И "на десерт" я покажу как получить "2020" из вообще ничего! Не верите? Обещаю! Нужно только задействовать кое-какие интернет-технологии :)

Но для начала мне хотелось бы поблагодарить добровольных помощников: Яна Барсукова и — в этот раз их было немного. Видимо, на евро-рождество и под Новый год народ уже успел разбежаться за подарками, закусками или вообще улетел куда подальше :)

Итак, правильные ответы ниже. Но для начала повторяю условие:

Пользуясь скобками и четырьмя основными арифметическими действиями (плюс-минус-умножить-разделить), необходимо из чисел "10 9 8 7 6 5 4 3 2 1" получить номер следующего года. Из этих чисел (строго только этих, строго в этом порядке), да плюс бесконечного количества скобок, плюс сколько хотите плюсов-минусов-умножений-и-делений необходимо получить число "2020". Причём цифры в последовательности должны стоять строго в этом порядке. Переставлять и склеивать их нельзя.

И вот какие ответы получились у меня. Проверяйте.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 2020

(10 * 9 * 8 — 7 * 6 — 5) * (4 — 3 + 2) + 1 = 673*3 + 1 = 2019 + 1 = 2020
10 * (9 — 8 + 7 — 6) * (5 * 4 * (3 + 2) + 1) = 20*101 = 2020
(10 * 9 + (8 — 7) * (6 + 5)) * (4 * (2 + 3) * 1) = 101*20 = 2020
(10 * (9 * 8 * (7 — 6) — 5) + 4) * 3 — 2 * 1 = 674*3 — 2 = 2022 — 2 = 2020

Подглядываю в прошлый год (адаптирую старые решения) ->

(10 * 9 * 8 — 7 * 6 — 5) * (4 — 3 + 2 * 1) = 2019 (от Skarbovoy) ==> ага, аналогично моему первому варианту, только единица ушла за скобки.
10 + 9 * 8 * 7 * ( 6 — 5 ) * 4 — ( 3 * 2 ) — 1 = 2019 (моё) ==> 10 + 9 * 8 * 7 * ( 6 — 5 ) * 4 — ( 3 * 2 * 1 ) = 2020
10 * ( 9 * 8 + ( 7 + 6 ) * ( 5 + 4 + 3 — 2 )) — 1 = 2019 ==> 10 * ( 9 * 8 + ( 7 + 6 ) * ( 5 + 4 + 3 — 2 )) * 1 = 2020
( 10 * 9 * ( 8 + 7 — 6 ) * 5 — 4 * 3 ) / 2 * 1 = 2019 ==> ( 10 * 9 * ( 8 + 7 — 6 ) * 5 — 4 * 3 ) / 2 + 1 = 2020

Читерство :)

(1098 — 76 — 5 — 4 — 3) * 2 * 1

И много других вариантов наверняка можно адаптировать отсюда. А в ЖЖ-комментах аж 21 вариант настрогали. Но с повторами и ошибкой в самой первой строчке.

Далее девятка:

9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 2020

Удалось найти только два решения:

(9 + 8) * 7 * (-6 + 5 * 4 + 3) — 2 — 1 = 17*7*17 — 3 = 2023 — 3 = 2020
9 * 8 * 7 * (6 — 5) * 4 + 3 + 2 — 1 = 2016 + 4 = 2020

Из старого адаптируется вот что:

( 9 * 8 * 7 + 6 — 5 ) * 4 — 3 + 2 * 1 = 2019 (eve_nts) => ( 9 * 8 * 7 + 6 — 5 ) * 4 — 3 + 2 + 1 = 2020 (независимо получено здесь).

Ещё из прошлогоднего от eve-nts:

9 + ( 8 * 7 * 6 — 5 + 4 ) * 3 * 2 + 1 = 2020

Ой, а вот здесь целые залежи решений девятки-2019, наверняка многие адаптируются под 2020.

Следующая по графику восьмёрка:

8 7 6 5 4 3 2 1 = 2020

Здесь тоже есть пара вариантов-близнецов:

(-8 + 7 * 6 * 5) * (4 * 3 — 2 * 1) = 202 * 10 = 2020
(-8 + 7 * 6 * 5) * (4 + 3 * 2 * 1) = … = 2020

Ага, есть и третий близнец! (от Яна Барсукова)

(-8 + 7 * 6 * 5) * (4 + 3 + 2 + 1) = 2020

Ага, но тогда это же ещё тройка решений для десятки!

(10 — 9) * (-8 + 7 * 6 * 5) * (4 * 3 — 2 * 1) = 2020
(10 — 9) * (-8 + 7 * 6 * 5) * (4 + 3 * 2 * 1) = 2020
(10 — 9) * (-8 + 7 * 6 * 5) * (4 + 3 + 2 + 1) = 2020

Более для восьмёрки ничего не нашлось.

Семь. Семёрку можно решать с факториалами.

7 6 5 4 3 2 1 = 2020

Тут тоже есть разные решения. У меня вот такая красота получилась, факториал деления факториалов! :)

( (7! / 6!)! / 5 — 4 + 3! ) * 2 * 1 = (7!/5 + 2) * 2 = (1008+2) * 2 = 2020

Альтернативное (от Яны Барсуковой) ->

(7! * 6 / 5 + 4 * 3)/(2 + 1) = 2020

Через сдвиги, адаптация прошлогодних вариантов:

((7 + 6 * (( 5 << 4 ) + 3)) << 2) — 1 = 2019 => ((7 + 6 * (( 5 << 4 ) + 3)) << 2 ) * 1 = 2020
(( 7 << 6 ) * (5 + 4) + 3 * 2) >> 1 = 2019 => (( 7 << 6 ) * (5 + 4) + 3! + 2) >> 1 = 2020

На этом с семёркой прощаемся, далее номер шесть. Решать можно и прочей арифметической магией.

6 5 4 3 2 1 = 2020

Вот такое получилось у меня и в жж-комментах:

6 + 5# — sf(4) — 3! — 2*1 = 2020 // праймориал 5# = 2310, суперфакториал sf(4) = 288, их разность = 2022.
6!! * (5!! + 4! + 3) + (2<<1) = 2020 // кратный факториал 6!! = 2*4*6 = 48, 5!! = 1*3*5 = 15, 48*(15+24+3) = 2016.

Ну, если со сдвигами, то можно адаптировать прошлогоднее:

6! / 5 * ( 4 + 3 )!!!!! + 2 + 1 = 2019 => 6! / 5 * ( 4 + 3 )!!!!! + (2 << 1) = 144 * 7 * 2 + 4 = 2020
6 / 5! * (4! / 3)! + 2 + 1 = 2019 (Skarbovoy) => 6 / 5! * (4! / 3)! + (2 << 1) = 2020

Далее — самое интересное. Пятёрки-четвёрки-тройки-двойки. На всякий случай сюда сразу положу ссылку на русские народные сказки прошлогодние упражнения и таблички числовых рядов (начиная с нуля):

Числа Каталана C(n) -> 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862…
Числа Леонардо L(n) -> 1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167…
Числа Мерсенна M(n) -> 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191…
Числа Ферма Fm(n) -> 3, 5, 17, 257…
Числа Фибоначчи F(n) -> 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765…
Ещё есть числа Вудала W(n), но они нам не потребуются -> x, 1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, …

Поехали..

5 4 3 2 1 = 2020

Получилось вот так. Праймориалы 5# = 2310 (если забыли), 4# = 210.

5# — 4# — ((3 ^ 2 — 1)!!! = 2310 — 210 — 8*5*2 = 2100 — 80 = 2020
5# — sf(4) — 3 + 2 — 1 = 2310 — 288 — 2 = 2020

Через числа Каталана и числа Фибоначчи от Яны Барсуковой:

5 + С(4) * F(sf(3)) — 2 + 1 = 5 + 14*F(12) — 1 = 5 + 2016 — 1 = 2020

Адаптации прошлогоднего:

( 5! — 4! ) * F( F( 3! )) + (2 << 1)
5 * C (( M ( F( 4 ))) — M ( M( 3 )) + 2 * 1
5# — ( 4! * sf( 3 ) ) — 2 * 1

Четвёрка.. Всё веселее и веселее :)

4 3 2 1 = 2020

Решения:

L(4) * L(3) + 2 + L(L(Fm(1))) = 9 * 5 + 2 + L(15) = 47 + 1973 = 2020
sf(4) * M(3) + M(2) + 1 = 288 * 7 + 3 + 1 = 2020 (от Яны Барсуковой)

Адаптация прошлогоднего:

C( 4 ) * F( (3!)!!!! ) + 2 + 1 = 2019 => C( 4 ) * F( (3!)!!!! ) + (2 << 1) = 2020
( 4! ) !!!!!!!!!!!!!!!!! * sf( 3 ) + 2 + 1 = 2019 => ( 4! ) !!!!!!!!!!!!!!!!! * sf( 3 ) + (2 << 1) = 2020

От Яны Барсуковой:

C( 4 ) * F ( sf( 3 )) + 2 + 1 = 2019 => C( 4 ) * F ( sf( 3 )) + (2 << 1) = 2020
sf( 4 ) * M( 3 ) + 2 + 1 = 2019 => sf( 4 ) * M( 3 ) + (2 << 1) = 2020

Тройка…

3 2 1 = 2020

Вариант есть. Проверяйте:

(L(3^2) — F(Fm(!1)!)) !!!…81-кратный…!!! = (109 — 8)!!!…!!! = 101*20 = 2020

Можно решение для четвёрки "оптимизнуть": L(4) * L(3) + 2 + L(L(Fm(1))) = 2020, из "L(4) * L(3)" надо получить "X(3) = 45". Так это просто..

L(L(3))!!!!!!!!!!!! + 2 + L(L(Fm(1))) = 15!!!…12-кратный…!!! + 2 + 1973 = 15*3 + 1975 = 2020

Осталось немного… двойка!

2 1 = 2020

А с двойкой у меня вот так получилось:

( Fm(L(2)) — F(Fm(1)!!!) ) !!!…192-кратный…!!! = (Fm(3) — F(10)) !!!…!!! = (257 — 55)!!!…!!! = 202*10 = 2020

UPD: вариант от Яны Барсуковой отсюда:

Mp( √(L(M(2)!)) ) — Rec(Rec(Fort(Fort( Mp(1))))) = 2020

— через простые Мерсенна (Mp), числа Леонардо, числа Рекамана, Фортуновы числа. Проверяю…

L(M(2)!) = L(3!) = L(6) = 25 => Mp( √25 ) = 2047
Mp(1) = 3 , Fort(3) = 7, Fort(7) = 19, Rec(19) = 62, Rec(62) = 27

2047 — 27 = 2020

Всё верно!

Ну, теперь самое-самое смешное. Сейчас мы будем получать номер года 2020 из одной единицы!

1 = 2020

Если покопаться в архивах, то у нас уже получалось это упражнение в прошлом:

2017 было получено "тригонометрической гусеницей", цитирую:

ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg … ctg arctg sin arcctg 1

— где функция ctg arctg sin arcctg повторяется 2017^2 -1 раз.
(доказательство по ссылке выше)

2018 получено через числа Вудала и антисигму.

(As( W( Fm( !1 ) )!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!) )!!!!!…..!!!!! = 2018

2019 выведено через числа Тетраначчи:

Tcci(( Fm( !1 )! )!!!! ) !!!…!!! (670-кратный факториал) = 673*3 = 2019

Сейчас же хочется вывернуться как-то иначе. Из одной голой единицы получить аж 2020. Ага, вот что получается:

Fm(1) = 5 // Ферма(1).
5!!! = 10 // 5!!! = 5*2*1 = 10.
(10!!!!!!!!)!!!!!!!!!!!!!!! = 100 // восьмикратный и 15-кратные факториалы 10*2, потом 20*5 = 100.
100!!!…90-кратный…!!! = 1000 // 100*10 = 1000, десятку превратили в сотню, потом сотню в тысячу.
1000!!!…900-кратный…!!! = 100000 // 1000*100 = 100000, тысячу в сто тысяч..

затем той же механикой увеличиваем количество нулей в этом числе:

10^5 -> 10^9 … 10^9 -> 10^17 -> … степень десятки = 2^n + 1 =>

2 5 9 17 33 65 129 257 513 1025, за 9 итераций из просто сотни получили 10^1025. При этом каждый кратный факториал приводит только к одному умножению. Каждый очередной X умножается только на X/10. На этом «кратно-факториальные» числа заканчиваются.

Теперь берём !!!…x-кратный…!!! факториал, чтобы добить к числу 10^1025 ещё 995 нулей. Т.е. кратность x = 10^1025 — 10^995 = 10^995(10^30 — 1). Это число больше (10^1025 — 10^1024), посему повторного умножения и здесь не будет.

Итого получили 10^2020.

Теперь просто берём логарифм… и ->

log (10^2020) = 2020

Ура!

А в качестве десерта мы сейчас получим 2020 из… вообще ничего! Нравится идея? :)

Из "вообще ничего" 2020 получается элементарно и при помощи тех же кратных факториалов:

2020 = (http://вообще-ничего.ком)!!!…399-кратный-факториал…!!! :)

Доказательство:
http://вообще-ничего.ком = 404.
404!!!…399-кратный-факториал…!!! = 404*5 = 2020

Всё!

P.S. и на будущее полезные ссылки:

Разложение чисел на простые множители.
Численные последовательности (обалденный проект, "википедия" последовательностей).
Подсчитать вообще всё что угодно.

P.P.S: Нет, ещё не всё! :) В качестве бонус-трека можно поиграться, например, с разложением числа пи:

Pi0(n): позиции нулей в разложении Pi.
PiSrch(n): позиция числа в разложении Pi.

PiSrch( Pi0( PiSrch( Pi0( Fm(1) ) ) ) ) = 2020

Проверяю ->

Fm(1) = 5
5й ноль в Pi на позиции 71.
71 в Pi на позиции 39.
39й ноль в Pi на позиции 398.
398 в Pi на позиции… ура! 2020.

Всё верно :)