Мат-2019, результаты 7-6-5-4-3-2-1.

Итак, продолжение занимательной арифметической физкультуры. В прошлый раз удалось подсчитать 2019 из «10-9-8-…-1», «9-8-…-1» и «8-7-…-1», теперь же начнём «плясать» от семёрки.

Как уже было сказано, получить искомое «2019» из семи цифр 7654321 при помощи базовых арифметических действий не получается, посему добавляем к ним ещё четыре операции: факториал, возведение в степень, корни и двоичный сдвиг ( x!, x^y, √x, x<<y ).

Ну, с таким расширенным арсеналом жить сразу стало легче, смотрите что получается:

===== 7 6 5 4 3 2 1 =====

(7 + 6 * (( 5 << 4 ) + 3) << 2 ) — 1 = 2019 (автор Skarbovoy)
7! * 6 / 5! * 4! / 3 + 2 + 1 = 2019 (хорошие друзья подсказали).
7! / 6 / 5 * 4 * 3 + 2 + 1 = 2019 (Skarbovoy)
(7 * 6! / 5 + 4 — 3 ) * 2  +  1 = 2019 (подключилась Яна Барсукова)
-7 + ((( 6 + 5 + 4 ) * 3 ) ^ 2 + 1 ) = 2019 (Skarbovoy)

Аж пять решений! Но наверняка есть ещё варианты.

Читерство, склеивать цифры нельзя:

( 7 * 6 + 5 ) * 43 — 2 * 1 = 2019 (Skarbovoy)

===== 6 5 4 3 2 1 =====

Для 6-ки и ниже добавляются ещё четыре операции: кратный факториал, суперфакториал, субфакториал и праймориал ( n!!..! , sf(n), !n, n# ). Получено пока вот что:

6! / 5 * ( 4 + 3 )!!!!! + 2 + 1 = 144 * 7 * 2 + 3 = 2019 (адаптировано из прошлогоднего «… +2*1 = 2018»)
6! / 5 * ( 4!! + 3! ) + 2 + 1 = 2019  (Яна Барсукова)

Ан, нет! Можно и без нововведений — факториалами, сдвигами и степенью!

6 / 5! * (4! / 3)! + 2 + 1 = 2019 (Skarbovoy)
-6 * 5 +  (4 << (3 ^ 2))  + 1 = 2019 (Skarbovoy)

А вот для 5-ки и ниже уже требуются супер-суб-факториалы и праймориалы, а также разные хорошо известные числовые ряды.

===== 5 4 3 2 1 =====

Для решения этой задачки и ниже разрешается использовать ещё более расширенные возможности:

!n = субфакториал.
# n = праймориал.
sf(n) = суперфакториал.

и стандартные числовые последовательности вроде таких:

F() = числа Фибоначчи,
Fm() = числа Ферма,
C() = числа Каталана,
L() = числа Леонардо,
M() = числа Мерсена

и разные прочие общеизвестные, обозначенные в интернетах.

Итак, какие варианты есть для пятёрки? Вот такой сразу, адаптированный из «2018»:

( 5! — 4! ) * F( F( 3! )) + 2 + 1 = 96 * 21 + 3 = 2019

А также:

5 * C (( M ( F( 4 ))) — M ( M( 3 )) + 2 — 1 = 2019 (Яна Барсукова)

А также моё без каких-либо именных числовых рядов:

5# — ( 4! * sf( 3 ) ) — 2 — 1 = 2310 — 24*12 — 3 = 2019

Опаньки! Праймориал-факториал-суперфакториал — и готово! Что означает, что ещё есть место для манёвров. Не все ещё возможности математических операций до конца проверены, проинвентаризированы и использованы.

Немного читерства со склейкой цифр:

-5! + F( 4 ) * ( 3! )! — 21 = 2019  (Skarbovoy)

===== 4 3 2 1 =====

Упражнения становятся всё интереснее и интереснее, чем меньше цифр – тем сложнее задачка, всё как мы любим :)

C( 4 ) * F( (3!)!!!! ) + 2 + 1 = 14 * 144 + 3 = 2019 (адаптация решения для 2018).

От Яны Барсуковой:

C( 4 ) * F ( sf( 3 )) + 2 + 1 = 2019
sf( 4 ) * M( 3 ) + 2 + 1 = 2019

Как всем хорошо известно, кратными факториалами можно чёрта лысого из любой цифры сотворить. Посему их применение надо как-то ограничить. Попробую договориться, что кратные факториалы могут использоваться либо однократно, либо же их значение не может превышать половины кратно-факториализуемого (о как задвинул). То есть, либо один раз, либо 32!!! Изволь умножать через каждую тройку. Я понятно рассказываю?

Ну, если так, то можно ещё раз подойти и к вот такому упражнению: 4 3 2 1 = 2019. Что из этого получается:

4!*sf(3) = 4*3*2 * 3!*2! = 24*12 = 288

288!!!…281-кратный-факториал…!!! = 288*7 = 2016 // как же удобно и приятно, когда такие хорошие и правильные числа лежат в шаговой доступности :)

( 4! * sf( 3 ) )!!!…281-кратный-факториал…!!! + 2 + 1 = 2019

А если приглядеться… Умножение на семёрку можно же было и раньше сделать, вот эта кучка восклицательных знаков — это оно и есть ->

( 4! ) !!!!!!!!!!!!!!!!!  * sf( 3 ) + 2 + 1 = 2019

===== 3 2 1 =====

Можно, конечно, вот так извернуться, но это тоже по мотивам русских народных сказок успешных прошлогодних опытов ->

L(L( 3 )!!) + !L(M( 2 )) + F( Fm( !1 )) = L(15) + !L(3) + F(3) = 1973 + 44 + 2 = 2019

А вот ещё:

3 + (( M( 2 ))! )!! * C(Fm(1)) = 2019  (Яна Барсукова</a>)

===== 2 1 =====

Едем дальше… и видим двойку. Как получить 2019 всего из двух цифр? Что-то как-то только вот так получается… через числа Mian-Chiwla… слышали о таких? Я пока тоже нет. Но в Википедии есть описание (ссылка выше). Нашёл я их вот здесь: Online Encyclopedia of Integer Sequences.

2019 = 2584 — 565
2584 = F(18) = F(6*3) = F(6!!!) = F( (3!)!!! ) = F( ( M(2)! )!!! )
565 = MC(21) = MC( MC( 3! )) = MC( MC( Fm(!1)! ))

Итого:

F( ( M(2)! )!!! ) — MC( MC( Fm( !1 )! )) = 2019

Вроде нигде не ошибся.

Ещё один подход к задачке 2 1 = 2019. Как я уже когда-то говорил, кратным факториалом можно чёрта лысого слепить. Ну, пробуем лепить этого чёрта лысого номер года нашего нынешнего…

2019 = 673*3 = 673!!!…!!! // 670-кратный факториал.

673 = 672 + 1 // единицу использовали и выбрасываем, осталась двойка.

А, пойду самым простым и проверенным путём. Из двойки делаем 0 (например, субфакториалом) и потом Ферма превращает брюки в шорты ноль в тройку.

!2 = 1
!1 = 0
Fm( !(!2) ) = 3.

Тройка! А это уже не двойка какая-то поганая. Это уже тройка! Начинаем удобрять её кратными и просто факториалами…

3! = 6
6!! = 6*4*2 = 48
48!!!…!!! (46-кратный он же) = 96.
96!!!….!!! (89-кратный) = 96*7 = (берём в руки калькулятор…) = искомое 672, которое = 2⁵ * 3 * 7

Ура, товарищи!

((((( Fm( !(!2) )! )!! )!!!…46-кратный…!!!)!!!…89-кратный...!!!) + 1 )!!!…670-кратный…!!! = 2019

Проверяйте :)

Чуть позже меня осенило:

Двойка мне, неразумному! Я же про праймориалы забыл! Получается ещё проще, Ферма и факториал 3! убираем…

2#  = 2*3 = 6, исходя из этого…

((((( 2# )!! )!!!…46-кратный…!!!)!!!…89-кратный...!!!) + 1 )!!!…670-кратный…!!! = 2019

Из чего следует, что нет предела нашему интегралу! совершенству и упражнениям для саморазвития.

===== 1 =====

Ну и напоследок, наше традиционное и самое любимое упражнение. Лепим «2019» из единственной цифры один: «1 = 2019«. Ага, а тут есть вот такая штукенция: числа Тетраначчи (Tetranacci numbers), далее Tcci (это я придумал). Поехали…

Tcci(12) = 673

12 = 6!!!!

6=3! — а тройку уже давно умеем получать из единицы ловкостью чисел Ферма: !1=0, Fm(0)=3. Итого:

Tcci(( Fm( !1 )! )!!!! ) !!!…!!! (670-кратный факториал) = 673*3 = 2019

Вуаля.

Всем спасибо за внимание!

Задачка решена, но увидеть более красивые решения всё равно очень хочется!